函数概述 TBD¶

反函数¶

定义¶

设 \(f\) 表示一个函数，其定义域为 \(X\)、陪域为 \(Y\)，若存在一函数 \(g\)，其定义域为 \(Y\)、陪域为 \(X\)，且对于 \(x\in X\) 有 \(g(f(x))=x\)、对于任意 \(y\in Y\) 有 \(f(g(y))=y\)，则称 \(g\) 为 \(f\) 的反函数。

函数 \(f\) 的反函数记为 \(f^{-1}\)，注意此处的 \(-1\)（次方的写法）并不是 \(-1\) 次方，比如 \(\sin\) 的反函数 \(\arcsin\) 也记为 \(\sin^{-1}\)。

判定¶

定义法¶

若一函数有反函数，便称此函数可逆。

一函数可逆的充分必要条件是该函数为双射，即同时为单射和满射。

若 \(f\) 为一实函数，还可通过水平线测试判断其是否为单射、满射或双射。

水平线测试¶

在数学里，水平线测试为一测试方法，用来判断一函数是否为单射、满射或双射。

设一带有图像的函数为 \(f:X\rightarrow Y\)，接着使用 \(X\times Y\) 上的水平线：

• 若函数为单射，则其图像绝不会和任何一条水平线相交超过一次。
• 若函数为满射，则每一水平线和图像至少相交一次。
• 若函数为双射，则每一水平线和图像相交于一点且只有一点。

求反函数¶

方法：记 \(g\) 表示函数 \(f\) 的反函数，那么从图像的角度考虑，若 \(\langle x,y\rangle\in f\)，那么 \(\langle y,x\rangle\in g\)，因此，我们对于 \(y=f(x)=\dots x\)，只需要将 \(x,y\) 互换，得到的就是反函数的解析式。当然也不能写 \(x=\dots y\) 的形式，要化为 \(y=\dots x\) 的形式。

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