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幂函数 TBD

二次根式化简

注：下文只讨论自然数 N\mathbb N 中的。

公式

a±b=a+a2−b2±a−a2−b2 \sqrt{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}\over2}\pm\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}\over2}

注：只有 a2−ba^2-b 是完全平方数的时候，才能开出来。

例题

化简 4+9\sqrt{4+\sqrt9}。

解：

4+9=  4+72+4−72=  12(4+7+4−7)=  12(72+72+72−72)=  2272=7 \begin{aligned} &\sqrt{4+\sqrt9}\\ =\;&\sqrt{4+\sqrt7\over2}+\sqrt{4-\sqrt7\over2}\\ =\;&{1\over\sqrt2}(\sqrt{4+\sqrt7}+\sqrt{4 -\sqrt7})\\ =\;&{1\over\sqrt2}(\sqrt{7\over2}+\sqrt{7\over2}+\sqrt{7\over2}-\sqrt{7\over2})\\ =\;&{2\over\sqrt2}\sqrt{7\over2}=\sqrt7 \end{aligned}

有人问，为什么不直接把 9\sqrt9 化成 33，因为我想多演示一遍，但是懒得再出一道题。

推导

我们设 a+b\sqrt{a+\sqrt{b}} 化简完的结果是 x+y\sqrt x+\sqrt y：

a+b=x+ya+b=x+y+2xy \begin{aligned} \sqrt{a+\sqrt{b}}&=\sqrt x+\sqrt y\\ a+\sqrt{b}&=x+y+2\sqrt{xy} \end{aligned}

因为 aa 外面没有根号，与 x+yx+y 相对应：

{a=x+yb=2xy \left\{\begin{aligned} a&=x+y\\ \sqrt{b}&=2\sqrt{xy} \end{aligned}\right.

然后我们把下面的式子平方，可以写出方程组：

{x+y=axy=b4 \left\{\begin{aligned} x+y&=a\\ xy&={b\over4} \end{aligned}\right.

然后用公式：

{x+y=ax−y=(x+y)2−4xy=a2−b \left\{\begin{aligned} x+y&=a\\ x-y&=\sqrt{(x+y)^2-4xy}\\ &=\sqrt{a^2-b} \end{aligned}\right.

PS：此时有一个初中不学（我们没学）的方法，

设 tt 满足：

(t−x)(t−y)=0t2−(x+y)t+xy=0 \begin{aligned} (t-x)(t-y)&=0\\ t^2-(x+y)t+xy&=0 \end{aligned}

解这个方程，得到的 tt 的两个根分别就是 xx 和 yy。

具体的：

t2−at+b4=0t=a±a2−b2 \begin{aligned} t^2-at+{b\over4}=0\\ t={a\pm\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned}

解得：

{x=a+a2−b2y=a−a2−b2 \left\{\begin{aligned} x&={a+\sqrt{a^2-b}\over2}\\ y&={a-\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned}\right.

因此：

a+b=x+y=  a+a2−b2+a−a2−b2 \begin{aligned} &\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt x+\sqrt y\\ =\;&\sqrt{a+\sqrt{a^2-b}\over2}+\sqrt{a-\sqrt{a^2-b}\over2} \end{aligned}

减法同理。

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