https://github.com/raineblog/whk/edit/main/docs/mathematics/geometry/2.md
https://github.com/raineblog/whk/blob/main/docs/mathematics/geometry/2.md
三角函数题型
函数思想
变角思想
三角函数：角为先，公式特征为要。
公式特征注意：用 \(\cos2\alpha\) 联系 \(\sin\alpha,\cos\alpha\)。
\[ 4\sin\alpha\cos\alpha=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2-(\sin\alpha-\cos\alpha)^2 \]
右图为这三者的转换关系。
\[ \left\{ \begin{aligned} x&=\sin\alpha-\sin\beta\\ y&=\cos\alpha-\cos\beta \end{aligned} \right. \]
根据上面的可以推出 \(\alpha,\beta\) 和差角的正余弦。
也可以换元，设 \(t\) 为 \(\sin,\cos\) 等，将原式化为关于 \(t\) 的二次函数或分式。
注意求区间上的值域，也可以结合不等式相关内容。
一角一函数
一角一函数，可以简单的理解为 \(y=A\sin(\omega x+\varphi)\) 的形式。
即一个角在一个三角函数里，可以更好的求解。
齐次思想
齐次思想，也可以归为次数的重要性。
三角函数中，弦为一次，切为零次，割为负一次。
例如对于求值类问题，升幂降角、降幂升角，是很关键的。
当一个式子中的函数次数仅为奇数后者偶数的时候，可以补充 \(\sin^2+\cos^2=1\) 齐次。
也可以结合弦化切，除以一个 \(\sin^2+cos^2\) 的若干次方。
当然也存在次数的奇偶性转化，例如：
\[ \sin-\cos=\pm\sqrt{(\sin^2-\cos^2)}=\pm\sqrt{1-2\sin\cos} \]
这种不常用，注意正负号。
整体角思想
整体角，即将 \(y=A\sin(\omega x+\varphi)\) 中的 \(\omega x+\varphi\) 设为单独的变量如 \(t\) 后进行解决的思想。
化为一角一函数后，用整体角结合三角函数性质进行快速解决。
根据整体角的范围，画出函数图像或者列出关于 \(k,k\in\mathbb Z\) 的方程。
注意区间的开闭问题。
弦化切思想
切化弦通常是很容易想到的，我们直接令：
\[ \tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \]
但是弦化切也有很大的用处，具体体现在：
三角函数求参数
参变分离思想
也就是主元思想的体现，将参数作为主元化简。
然后根据等式右侧的函数性质得到参数的特征。
也可以使用等式相当于左右两侧函数交点问题。
不同参数的常见求法
对于：
\[ y=A\sin(\omega x+\varphi)+B \]
-
\(A\)：振幅。
-
\(B\)：极值。
-
\(\omega\)：周期。
-
\(\varphi\)：通常带入求解。
根据周期长度解题
对于有多少零点的问题，可以在还原之前根据区间长度和周期长度得到一个大体的范围。
给定单调区间，首先可以写出，单调区间长度小于等于半周期，即：
\[ r_0-l_0\le\frac{T}{2}=\frac{\pi}{\omega} \]
然后就可以在这个大体的范围内求解，如果不好求解也会方便枚举。
然后如果可以求出 \(\omega\) 的一些其他条件（比如奇偶性），直接求出来。
已知起点终点
思想：复合函数、还原。
对于 \(f(x)=A\sin(\omega x+\varphi)\)，我们令 \(t=\omega x+\varphi\)。
注意 \(\omega\) 的正负性，得出 \(t\) 的取值范围，进行进一步求解。
比如，给定零点横坐标、对称轴，转化为：
\[ \omega x_0+\varphi=\lambda k\pi(+\pi/2) \]
未知 \(\varphi\)：根据已知点或特殊信息（对称轴、对称中心）带入，列出方程组求出 \(\varphi\)。
未知起点终点
可以将问题再分为：正正、正负。
特殊的，如果 \(\omega\) 的正负不确定，应当讨论 \(\operatorname{sgn}(\omega)\)。
\(\varphi\) 未知求 \(\omega\)
这一类问题通常比较难：
-
各种条件，先转化为区间长度，初步限制 \(\omega\) 的范围。
-
根据特殊信息，限制 \(\omega\) 的奇偶性等性质。
-
在独立的 \(\omega\) 取值中，一次判断是否满足条件。
比较难算。
三角形中的三角函数
条件，在三角形中，有 \(x+y+z=\pi\)（三角形内角和），那么：
正切恒等式
形式一
\[ \tan x+\tan y+\tan z=\tan x\tan y\tan z \]
证明：
\[ \begin{aligned} \tan z&=\tan(\pi-x-y)=-\tan(x+y)\\ \tan z&=-{\tan x+\tan y\over1-\tan x\tan y} \end{aligned} \]
下面的式子整理即可。
形式二
\[ \tan{x\over2}\tan{y\over2}+\tan{y\over2}\tan{z\over2}+\tan{z\over2}\tan{x\over2}=1 \]
证明：
\[ \begin{aligned} \tan{z\over2}&=\tan\left({\pi\over2}-{x\over2}-{y\over2}\right)={1\over\tan({x\over2}+{y\over2})}\\ \tan{z\over2}&={1-\tan{x\over2}\tan{y\over2}\over\tan{x\over2}+\tan{y\over2}} \end{aligned} \]
下面的式子整理即可。
余切恒等式
形式一
\[ \cot x\cot y+\cot y\cot z+\cot z\cot x=1 \]
证明：
根据 \(\displaystyle\tan\alpha={1\over\cot\alpha}\) 展开正切的形式一即可。
形式二
\[ \cot{x\over2}+\cot{y\over2}+\cot{y\over2}=\cot{x\over2}\cot{y\over2}\cot{y\over2} \]
证明：
根据 \(\displaystyle\tan\alpha={1\over\cot\alpha}\) 展开正切的形式二即可。
一倍角弦
形式一
\[ \sin x+\sin y+\sin z=4\cos{x\over2}\cos{y\over2}\cos{z\over2} \]
证明：
\[ \begin{aligned} \sin x+\sin y&=2\sin{x+y\over2}\cos{x-y\over2}\\ &=2\cos{z\over2}\cos{x-y\over2}\\ \sin z&=2\sin{z\over2}\cos{z\over2}\\ &=2\cos{z\over2}\cos{x+y\over2} \end{aligned} \]
然后加起来用和差化积公式即可。
形式二
\[ \cos x+\cos y+\cos z=1+4\sin{x\over2}\sin{y\over2}\sin{z\over2} \]
证明：
\[ \begin{aligned} \cos z&=1-\sin^2{z\over2}\\ &=1-\sin{z\over2}\cos{x+y\over2}\\ \cos x+\cos y&=2\cos{x+y\over2}\cos{x-y\over2}\\ &=2\sin{z\over2}\cos{x-y\over2} \end{aligned} \]
然后加起来用和差化积公式即可。
二倍角弦
形式一
\[ \sin2x+\sin2y+\sin2z=4\sin x\sin y\sin z \]
证明：
\[ \begin{aligned} \sin2z&=2\sin z\cos z\\ &=-2\sin z\cos(x+y)\\ \sin2x+\sin2y&=2\sin(x+y)\cos(x-y)\\ &=2\sin z\cos(x-y) \end{aligned} \]
然后加起来用和差化积公式即可。
形式二
\[ \cos2x+\cos2y+\cos2z=-1-\cos x\cos y\cos z \]
证明：
\[ \begin{aligned} \cos2z&=2\cos^2z-1\\ &=-2\cos z\cos(x+y)-1\\ \cos2x+\cos2y&=2\cos(x+y)\cos(x-y)\\ &=-2\cos z\cos(x-y) \end{aligned} \]
然后加起来用和差化积公式即可。
例题
例题一
已知 \(\tan\beta\) 有意义，且 \(\sin(\alpha+\beta)={1\over2}\)，\(\sin(\alpha-\beta)={1\over3}\)，求 \(\dfrac{\tan\alpha}{\tan\beta}\)。
S1：和差恒等式
易得：
\[ \begin{cases} \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta={1\over2}\\ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta={1\over3}\\ \end{cases} \]
解得：
\[ \begin{cases} \sin\alpha\cos\beta={5\over12}\\ \cos\alpha\sin\beta={1\over12}\\ \end{cases} \]
易知：
\[ {\tan\alpha\over\tan\beta}={\sin\alpha\cos\beta\over\cos\alpha\sin\beta}={{5\over12}\over{1\over12}}=5 \]
S2：和差化积恒等式
易得：
\[ \begin{cases} \sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta={1\over2}+{1\over3}={5\over6}\\ \sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta={1\over2}-{1\over3}={1\over6} \end{cases} \]
易知：
\[ {\tan\alpha\over\tan\beta}={2\sin\alpha\cos\beta\over2\cos\alpha\sin\beta}={{5\over6}\over{1\over6}}=5 \]
例题二
已知 \(\theta\in[0,2\pi)\) 且 \(\sin(x+\theta)\) 是偶函数，求 \(\theta\)。
根据偶函数定义：
\[ \begin{aligned} \sin(x+\theta)=\sin(-x+\theta)\\ \sin\theta\cos x+\cos\theta\sin x=\sin\theta\cos x-\cos\theta\sin x\\ \cos\theta\sin x=0 \end{aligned} \]
因为 \(x\in\mathbb R\)，所以 \(\cos\theta=0\)，即： \(\displaystyle\theta={\pi\over2}/{3\pi\over2}\)。
知识点：偶函数、和差恒等式。
例题三
求函数 \(\displaystyle g(x)=\sin^2\left(x+{\pi\over12}\right)+\sin^2\left(x+{\pi\over4}\right)\) 的值域。
化简：
\[ \begin{aligned} &\sin^2\left(x+{\pi\over12}\right)+\sin^2\left(x+{\pi\over4}\right)\\ =\;&{1\over2}\left[1-\cos\left(2x+{\pi\over6}\right)+1-\cos\left(2x+{\pi\over2}\right)\right]\\ =\;&1-{1\over2}\left[\cos\left(2x+{\pi\over6}\right)+\cos\left(2x+{\pi\over2}\right)\right]\\ =\;&1-{1\over2}\left({\sqrt3\over2}\cos2x-{1\over2}\sin2x-\sin2x\right)\\ =\;&1+{1\over4}\left(3\sin2x-\sqrt3\cos2x\right)\\ =\;&1+{\sqrt3\over2}\sin\left(2x-{\pi\over6}\right)\end{aligned} \]
然后就忒简单了，答案是，函数 \(g\) 的值域为 \(\displaystyle\left[1-{\sqrt3\over2},1+{\sqrt3\over2}\right]\)。
知识点：函数、和差恒等式、降次公式、辅助角公式。
另外：最后辅助角公式的应用中，\(\arctan b/a\) 可以不用算出来，因为 \(x\) 属于实数域，\(\sin\) 函数里面一定是任何一个实数都取得到，直接取 \(r=\sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt3\) 即可得出答案。
例题四
求值：
\[ \gdef\degree{{}^\circ} \cos20\degree\cos40\degree\cos80\degree \]
答案：
\[ \begin{aligned} S&=\dfrac{1}{\sin20\degree}\sin20\degree\cos20\degree\cdot\cos40\degree\cos80\degree\\ &=\dfrac{1}{2\sin20\degree}\sin40\degree\cos40\degree\cdot\cos80\degree\\ &=\dfrac{1}{4\sin20\degree}\sin80\degree\cos80\degree\\ &=\dfrac{1}{8\sin20\degree}\sin160\degree=\dfrac{1}{8} \end{aligned} \]
本质是角的变换。
例题五
求值：
\[ \sin10\degree+\dfrac{\sqrt3}4\tan10\degree \]
答案：
\[ \begin{aligned} S&=\dfrac{4\sin10\degree\cos10\degree+\sqrt3\sin10\degree}{4\cos10\degree}\\ &=\dfrac{2\sin(30\degree-10\degree)+\sqrt3\sin10\degree}{4\cos10\degree}\\ &=\dfrac{\cos10\degree}{4\cos10\degree}=\dfrac14 \end{aligned} \]
本质也是角的变换。
本页面最近更新：正在加载中，更新历史。
编辑页面：在 GitHub 上编辑此页！
本页面贡献者：RainPPR。