解三角形¶

基本方法¶

基本原理¶

回忆初中平几，根据全等三角形的判断：

如果知道 ASA、AAS、SAS、SSS、HL 就可以唯一的确定一个三角形。

总结一下就是两个角全都可以，三个边可以，一个角两个边就需要是夹角。

即知道 \(aCb\)、\(cBa\)、\(bAc\)，才可以唯一确定一个两边一角的三角形。

至于 SSA，只有一个角是直角才可以唯一确定，不过这个就是 HL 了。

三角形确定，意味着我们可以求出所有边的长度以及所有角度的大小。

正弦定理、余弦定理就为我们提供了方法：可以利用角度和边长互相表示。

像这样，确定三角形边、角的过程，就是解三角形。

如何选择正弦定理、余弦定理？

遇到正弦选正弦定理，遇到齐次式考虑正弦定理。

遇到余弦选余弦定理，遇到边的二次齐次式考虑余弦定理。

原则：边角统一。

三角函数¶

在三角形中，

因此就有：

在三角形中，\(a=b\cos C+c\cos B\)。

若 \(\sin^2A+\sin^2B=\sin^2C\)，则该三角形是以 \(\angle C\) 为直角的 \(\mathrm{Rt\triangle}\)。

解三角形里面常用的奇怪三角函数：

特殊的，如果 \(\sin 2A=\sin 2B\)，则有 \(2A=2B\) 或 \(2A+2B=\pi\)，即 \(A=B\) 或 \(A+B=90^\circ\)，即等腰或直角三角形。

平面几何法¶

利用平面几何定理，直接解决。

通常平面几何关注的是角与边的关系。

角，联系三角函数，倒角解决。

边，通常联系正余弦定理，以及一些特殊的定理。

建系法：将数据用坐标表示，详见解析几何。

向量基底法¶

用向量基底分解，利用点乘的性质解决。

通常情况下，向量法是一个好用而简洁的方法。

三角形应用¶

基线：在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。

仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角。

俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角。

方向角：从正北或正南方向到目标方向所形成的小于九十度的角。

方位角：从某点的指北方向线起依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。

三角法定理¶

正弦定理¶

回顾初中几何，三角形面积，

下面的证明过程只考虑锐角三角形，对于钝角三角形，结论不变。

做过 \(\angle A\) 的垂线，则该垂线长度 \(h\)：

对每个角应用，最后可得，

做出该三角形的外接圆，过圆心做 \(BC\) 的高，则，

即值 \(k\) 为三角形外接圆直径 \(2R\)。

常常这么写：

正弦定理推论：大边对大角，小边对小角。

余弦定理¶

在 \(\triangle ABC\) 中，

其中 \(\theta\) 为 \(c\) 的对角，即 \(\angle C\)；第二步就是两边平方。

常写作：

推论：

余切定理¶

其中 \(\zeta\) 为 \(\triangle ABC\) 内切圆半径，\(p\) 为三角形的半周长。

推论，一各三角形内切圆半径为，

其中 \(S\) 表示三角形面积，\(a,b,c\) 分别表示三边长。

正切定理¶

正切定理指出，三角形中，两条边的和与差的比值，等于这两条边的对角的和与差的一半的正切的比值：

三角形四心¶

奔驰定理¶

在锐角 \(\triangle ABC\) 中，

推论：

• 设 \(I\) 为内心，则 \(a\cdot\overrightarrow{IA}+b\cdot\overrightarrow{IB}+c\cdot\overrightarrow{IC}=\vec0\).

• 设 \(H\) 为垂心，则 \(\tan A\cdot\overrightarrow{HA}+\tan B\cdot\overrightarrow{HB}+\tan C\cdot\overrightarrow{HC}=\vec0\).

• 设 \(O\) 为外心，则 \(\sin2A\cdot\overrightarrow{OA}+\sin2B\cdot\overrightarrow{OB}+\sin2C\cdot\overrightarrow{OC}=\vec0\).

极化恒等式¶

在平行四边形中，\(\bm a=\vecc{AB},\bm b=\vecc{AD}\)，则：

两式相加，得：

两式相减，得：

我们连接 \(AC,BD\)，得到平行四边形对角线中点 \(O\)，那么：

也就是两边数量积等于中线长平方减另一边长中点长一半的平方。

也就是在三角形 \(\triangle ABC\) 中，\(D\) 为 \(BC\) 中点，那么：

在圆中注意投影与垂径定理的应用。

分点的向量方程¶

特殊的，中点的向量方程：

即对边比例相乘向量相加。

重心及其性质¶

重心：三角形三边中线交点，在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，也就是说对于平面内任意一点 \(P\)：

重心和三角形任意两个顶点组成的三个三角形面积相等，而重心到三条边的距离与三条边的长成反比。

根据奔驰定理，有三角形重心到其各个顶点向量之和为零。

特性：一个三角形的重心同时也是其中点三角形的重心，中位线证明。

根据是中线的性质，做 \(AG\) 并延长交 \(BC\) 于点 \(H\)，则：

特殊的，重心到三边距离之积最大、到三角形三个顶点距离的平方和最小。

内心及其性质¶

内心为三角形内切圆圆心，因此为三个角的角平分线交点：

有奔驰定理的形式：

三角形的内心到边的距离（即内切圆的半径）与三边长及面积之间有关系：

可以连接内心与三顶点，等面积法求解。

外心及其性质¶

外心为三角形外接圆圆心，因此为三边中垂线交点，不一定在三角形内部，到三角形三点距离相等。

有奔驰定理的形式：

而，

• 当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部。

• 当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部。

• 当三角形为直角三角形时，外心在斜边的中点上。

垂心及其性质¶

垂心是三角形三边垂线的交点，因此有点积为零。

两两整理，得到：

有奔驰定理的形式：

而垂心到三角形一顶点距离等于此三角形外心到此顶点对边距离的 \(2\) 倍。

三角形外心 \(O\)、重心 \(G\)、垂心 \(H\) 三点共线且 \(OG:GH=1:2\) 此直线称为三角形的欧拉线。

三角形三线¶

中线长定理¶

在 \(\triangle ABC\) 中，\(BC\) 的中点为 \(M\)，对于中线 \(AM\)，有：

或，

或，

证明，基底分解：

则，

或者中点两个底角分别列余弦定理，相加化简。

分角定理¶

在 \(\triangle ABC\) 中，\(BC\) 上有一点 \(M\)，则：

证明，左右两边等面积法：

或正弦定理：

上下做比。

角平分线定理¶

在 \(\triangle ABC\) 中，\(\angle A\) 的平分线 \(AM\)，有：

是分角定理的直接推论。

角平分线长定理¶

边长公式¶

射影定理¶

射影定理表示为：

在初中我们学习过影高乘积等于树高平方的射影定理。

在 \(\triangle ABC\) 中 \(BC\) 上的高为 \(AD\)，则：

斯图尔特定理¶

又译斯台沃特定理，在 \(\triangle ABC\) 边 \(BC\) 上任意一点 \(D\)，

可以由两次余弦定理推导得出。

托勒密定理¶

托勒密定理指出：圆内接凸四边形中，两组对边的乘积之和等于两条对角线的乘积。

广义托勒密定理指出，任意凸四边形左式大于等于右式，取等当且仅当为圆内接。

平行四边形恒等式¶

对于一般的四边形，等式不成立，但是有不等式：

或者设 \(x\) 表示两条对角线中点所连线段的长度：

注意到平行四边形对角线互相平分，即 \(x=0\)，可得上面的第一个恒等式。

边元塞瓦定理¶

其逆定理用于表示三角形内三点共线，角元塞瓦定理较为复杂。

梅涅劳斯定理¶

一直线与 \(\triangle ABC\) 的三边 \(AB,BC,AC\) 或他们的延长线分别交于 \(X,Y,Z\) 三点，则：

梅涅劳斯定理的逆定理表示为，满足上述式子，则 \(X,Y,Z\) 三点共线。

面积公式¶

海伦公式¶

任意三角形面积可以表示为：

即：

其中 \(p\) 为三角形的半周长。

布雷特施奈德公式¶

任意四边形面积可以表示为：

其中 \(p\) 为四边形的半周长，\(\alpha,\beta\) 为其中二个对角。

布雷特施奈德公式可视为婆罗摩笈多公式之推广。

婆罗摩笈多公式¶

注意到圆内接四边形对角互补，其半角余弦值为零，\(\cos90^\circ=0\) 则圆内接四边形面积可以简化为：

其中 \(p\) 为四边形的半周长。

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