点线面¶
公理体系¶
三大公理¶
公理：
- 经过不共线三个点，有且仅有一个平面。
- 若点 \(A,B\) 在一平面内，则直线 \(AB\) 也在该平面内。
- 若两个不重合的平面有公共点，则有且仅有一条过公共点的直线，称为平面和平面的交线。
推论：
- 经过直线和直线外一点，有且仅有一个平面。
- 经过两条相交的直线，有且仅有一个平面。
- 经过两条平行的直线，有且仅有一个平面。
证明方式：由公理一得出存在性，由公理二得出唯一性。
几何体的截面¶
-
连接被截的若干点。
-
做面上的平行线、延长线。
-
算长度，勾股判断图形。
点线面的关系¶
关系概述¶
点和线的关系：
- 点在线上。
- 点在线外。
线和线的关系：
- 线与线相交（与一点）。
- 线与线平行。
- 线与线异面。
线与面的关系：
- 线与面相交。
- 线与面平行。
- 线在面外。
面与面的关系：
- 面与面相交。
- 面与面平行。
相交关系¶
我们认为直线是点的集合，平面亦如此。
因此我们可以使用元素属于集合来表示点与直线、平面的关系，使用集合包含来表示直线与平面的关系。
具体的，我们用大写字母表示点，如点 \(A\)；使用小写字母表示直线，如直线 \(a\)；使用小写希腊字母表示平面，如平面 \(\alpha\)。
则可以写出 \(A\in a,a\notin A,a\subset\alpha,a\not\subset\alpha\)。
平行关系¶
回忆：线和线的平行关系，满足传递性（公理四）。
线面平行判定定理：平面外一直线与平面内一直线平行，则称该直线与平面平行。
公式表达：
线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的一个平面与该平面相交，则该直线与两平面交线平行。
公式表达：
面面平行判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
公式表达：
面面平行性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。。
公式表达：
垂直关系¶
线与线的垂直关系¶
线线垂直判定定理：过其中一条直线作平行于另一条直线的平面，将另一条直线投影到这个平面上。如果这个投影与第一条直线垂直，那么就说两条直线垂直。
也就是说，如果我们将其中一条直线移动，如果可以使其与另一条直线位于一条平面内，则称两条直线垂直。
线与面的垂直关系¶
线面垂直判定定理：一条直线与一个平面垂直当且仅当它与平面中的每一条直线都垂直。
在实际应用中，通常表述为：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
公式表达：
证明：根据平面向量基本定理，后面忘了。
线与面的夹角：从直线上的一点做面的垂线，连接垂足和直线与面的交点的直线与该直线的夹角为该线与面的夹角。
线面垂直性质定理：垂直于同一平面的两直线平行。
公式表达：
线与面的距离：过平行于平面的直线上任意一点做这个平面的垂线，垂线段长度即为这条直线到这个平面的距离。
面与面的距离：平面内一条直线到另一平面的距离，即为两个平行平面之间的距离。
面与面的垂直关系¶
设平面 \(\alpha,\beta\) 交于直线 \(AB\)，设 \(P,Q\) 分别为 \(\alpha,\beta\) 上的点，容易知道此时 \(\alpha,\beta\) 都可以用这四个点来表示，因此我们记 \(P-AB-Q\) 表示（半）平面 \(\alpha,\beta\) 的二面角。注意到我们只取了其中一个角，因此这是半平面的二面角。
面面垂直判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
公式表达：
面面垂直性质定理：若两个平面垂直且一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
公式表达：
公理总结¶
判定定理：升维，通过低纬度的条件推出高维度的结论。
性质定理：降维，通过高维度的条件推出低维度的结论。
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