平面向量¶

平面直角坐标系¶

笛卡尔坐标系¶

笛卡尔坐标系（也称直角坐标系）在数学中是一种正交坐标系，二维的直角坐标系是由两条相互垂直、相交于原点的数线构成的。在平面内，任何一点的坐标是根据数轴上对应的点的坐标设定的，类似于数轴上点与坐标的对应关系。

二维的直角坐标系通常由两个互相垂直的坐标轴设定，通常分别称为 \(x\) 轴和 \(y\) 轴；两个坐标轴的相交点，称为原点，通常标记为 \(O\)。每一个轴都指向一个特定的方向。这两个不同线的坐标轴，决定了一个平面，称为 \(xy\) 平面，又称为笛卡尔平面。

通常两个坐标轴只要互相垂直，其指向何方对于分析问题是没有影响的，但习惯性地，\(x\) 轴被水平摆放，称为横轴，通常指向右方；\(y\) 轴被竖直摆放而称为纵轴，通常指向上方。

为了要知道坐标轴的任何一点，离原点的距离。假设，我们可以刻画数值于坐标轴。那么，从原点开始，往坐标轴所指的方向，每隔一个单位长度，就刻画数值于坐标轴。这数值是刻画的次数，也是离原点的正值整数距离；同样地，背着坐标轴所指的方向，我们也可以刻画出离原点的负值整数距离。称 \(x\) 轴刻画的数值为 \(x\) 坐标，又称横坐标，称 \(y\) 轴刻画的数值为 \(y\) 坐标，又称纵坐标。

虽然，在这里，这两个坐标都是整数，对应于坐标轴特定的点。按照比例，我们可以推广至实数坐标和其所对应的坐标轴的每一个点。这两个坐标就是直角坐标系的直角坐标，标记为 \((x,y)\)。任何一个点 \(P\) 在平面的位置，可以用直角坐标来独特表达。只要从点 \(P\) 画一条垂直于 \(x\) 轴的直线。从这条直线与 \(x\) 轴的相交点，可以找到点 \(P\) 的 \(x\) 坐标。同样地，可以找到点 \(P\) 的 \(y\) 坐标。这样，我们可以得到点 \(P\) 的直角坐标。

欧几里得变换¶

平移：

如果所有点的初始坐标是 \((x,y)\)，在平移之后它们的坐标将是：

\[ \global\let\vecc=\overrightarrow (x',y')=(x+a,y+b) \]
平移平面上的一个点集，保持在它们之间的距离，等价于在点集中所有的笛卡尔坐标上增加固定的一对数值 \((a,b)\)。

旋转：

要绕原点逆时针旋转一个图形 \(\theta\) 度，等价于将所有点的坐标为 \((x,y)\) 替代为坐标 \((x',y')\)，这里有：

\[ x'=x\cos \theta -y\sin \theta \]

\[ y'=x\sin \theta +y\cos \theta \]
因此：

\[ (x',y')=(x\cos \theta -y\sin \theta,x\sin \theta +y\cos \theta) \]

详见线性代数章节。

有向线段¶

带有方向的线段称为有向线段。有向线段的三要素为：起点、方向、长度。

根据初等几何，那么只要知道这三要素，这个有向线段就已经被确定了，也就是终点可知。

从另一个角度思考，也可以认为是知道起点、终点，就可以唯一的确定一个有向线段。

一个有向线段由其两个端点表示，记为 \(\overrightarrow{AB}\) 或 \(\bm{a}\)，同时我们记其长度，称为向量的模。

向量¶

向量（vector）又称欧几里得向量（Euclidean vector）。

目前没有准确而统一的中文翻译，在物理、工程中通称矢量。

一般指一个同时具有大小和方向，且满足平行四边形法则的几何对象。

向量是数学、物理学和工程科学等多个自然科学中的基本概念。

与向量相对的概念称标量、纯量、数量，即：

只有大小、绝大多数情况下没有方向（电流是特例）、不满足平行四边形法则的量。

固定向量：尤其在物理学领域，有些向量会与起点有关（力与其的作用点有关，质点运动速度与该质点的位置有关），因而假设向量有确定的起点和终点，当起点和终点改变后，构成的向量就不再是原来的向量。这样的向量也被称为固定向量。

自由向量：向量的位置可自由移动。在另一些时候，由于向量的共性都具有大小和方向，会认为向量的起点和终点并不那么重要。两个起点不一样的向量，只要大小相等，方向相同，就可以称为是同一个向量。这样的向量被称为自由向量。在数学中，一般只研究自由向量，并且数学中所指的向量就是指自由向量。也就是只要大小以及方向一样，即可视为同一向量，与向量的起始点并无关系。

特殊的向量：遇到某些特殊情况（如表示磁场的磁感应强度）需要表示与记载纸面垂直的向量，则会使用圆圈中打叉或打点的方式来表示（如右图）。圆圈中带点的记号（⊙）表示由纸下方指向纸上方的向量，而圆圈中带叉的记号（⊗）则表示由纸的上方指向纸下方的向量。由于这种记号不表示向量的大小，所以必须时需要在旁边或其它地方另外注明。

下文为高中数学中定义的向量。

无特殊说明，下文的向量均指自由向量，大部分都是平面向量。

既有大小又有方向的量称为向量。这个定义很抽象，我们逐个分解。

我们已经有了有向线段，但是实际应用中，大部分时候，向量的位置并不重要。

于是我们将有向线段的起点不固定，将一个有向线段抽象为一个可以随意移动的量。

此时，你也许发现了。有向线段其实可以再次表示为，起点和一个向量。

我们通常把向量表示在平面直角坐标系内，没有说明的情况下，起点通常标在坐标轴原点。

我们取这个向量在横、纵坐标上延伸的长度作为两个元素，将向量记为 \((a,b)\)。

那么我们就得出了向量的几何意义，即向量 \((a,b)\) 表示向右走 \(a\)、向上走 \(b\) 的位移。

已知两点 \(A(a,b),B(c,d)\)，易证 \(\overrightarrow{AB}=(c-a,d-b)\)。

向量的模¶

对于一个向量 \(\vec a\)，有向线段 \(\vec a\) 的长度称为向量的模，即为这个向量的大小。

符号表示为 \(|\bm a|\) 或 \(|\overrightarrow{AB}|\) ，根据勾股定理，我们知道 \(|\vec a|=|(x,y)|=\sqrt{x^2+y^2}\)。

特殊的向量¶

零向量：模为 \(0\) 的向量，零向量的方向任意（不过其实是无意义）。一般记为：\(\vec 0\)。

单位向量：模为 \(1\) 的向量称为单位向量。一般记为 \(\bm e\)，最常见的单位向量就是基向量。

基向量：\(\bm i=(1,0)\) 表示 \(x\) 方向的单位向量，\(\bm j=(0,1)\) 表示 \(y\) 方向的单位向量。

平行向量：方向相同或相反的两个非零向量，规定零向量与任何向量平行。记作： \(\bm x\parallel\bm y\)。

共线向量：任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量又叫共线向量。

相等向量：模相等且方向相同的向量。相反向量：模相等且方向相反的向量。

向量的线性运算¶

向量数乘¶

我们规定实数 \(\lambda\) 与向量 \(\bm a\) 的积为一个向量，称为向量的数乘运算，记作 \(\lambda\vec a\)。

我们定义 \(\lambda\bm a=\lambda(x,y)=(\lambda x,\lambda y)\)。据此，我们可以得出以下向量数乘常用的结论：

\(|\lambda\bm a|=|\lambda||\bm a|\)；
当 \(\lambda >0\) 时，\(\lambda\bm a\) 与 \(\bm a\) 同向；
当 \(\lambda =0\) 时，\(\lambda \bm a=\vec 0\)；
当 \(\lambda<0\) 时，\(\lambda \bm a\) 与 \(\bm a\) 方向相反。

根据数乘的定义，可以得出向量的数乘满足交换律、结合律、分配律等，即，

\[ \lambda(\mu\bm a)=(\lambda\mu)\bm a\\ \lambda(\bm a+\bm b)=\lambda\bm a+\lambda\bm b\\ (\lambda+\mu)\bm a=\lambda\bm a+\mu\bm a\\ (-\lambda)\bm a=-(\lambda\bm a)=\lambda(-\bm a) \]

向量加法¶

注意，向量的数乘本质上也属于向量的线性运算，不过我把他们分开，方便理解。

下面讨论向量的加法，类比的，向量的减法可以从公式入手理解。

类比物理中的位移，从 \(A\) 经 \(B\) 到 \(C\)，那么经过的位移等价于直接从 \(A\) 到 \(C\)。

符号表示即：\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)，其实这个也就是三角形法则所表述的。

向量减法类似：\(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BA}\)，后面用到了交换律。

同时，注意到力的合成法则（平行四边形法则），同样也可以看做向量的相加。

因此，我们得出向量相加的两个运算法则，即三角形法则、平行四边形法则：

三角形法则：首尾顺次相连，和为从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点；
平行四边形法则：向量共起点，和为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，

起点为两个向量共有的起点，方向沿平行四边形对角线方向。

这样，向量的加法就具有了几何意义。并且向量的加法满足交换律与结合律。

然后从几何的角度可以推出一些公式，其中三角形法则的公式比较简单，如下：

\[ (x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2) \]

向量加法满足结合律和交换律，画图理解即可。

向量加法可以导出三角形不等式，

\[ ||\bm a|-|\bm b||\le|\bm a+\bm b|\le|\bm a|+|\bm b| \]

当且仅当两向量方向相同（注意不是平行），取等。

线段中点¶

设 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\) 为一平面内两点。

设 \(C(x,y)\) 为线段 \(AB\) 中点，则 \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)：

\[ x-x_1=x_2-x\\ y-y_1=y_2-y \]

最终解得，

\[ C\left({x_1+x_2\over2},{y_1+y_2\over2}\right) \]

即中点坐标。

线段长度¶

设 \(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\) 为一平面内两点，则，

\[ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AB}}=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \]

则线段 \(AB\)，

\[ |AB|=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \]

即线段长度。

向量的点积¶

点积的声明¶

对于向量的乘法：

物理	数学	直译	俗称
标量积	数量积	内积	点积
矢量积	向量积	外积	叉积

物理和数学上的用语采用了意译的方法，分别表示运算的结果为标量和矢量。

在数学学科，通常也可以翻译成「内积」和「外积」，是两个名词的直译。

而「点积」和「叉积」是根据运算符号得来的俗称，这种俗称也很常见。

点积的定义¶

点积的概念对于任意维数的向量都适用。

已知两个向量 \(\bm a,\bm b\) ，它们的夹角为 \(\theta\)，那么这两个向量的点积为：

\[ \bm a \cdot \bm b=|\bm a||\bm b|\cos \theta \]

其中，我们称 \(|\bm a|\cos \theta\) 为 \(\bm a\) 在 \(\bm b\) 方向上的投影。

\[ |\bm a|\cos\theta=\dfrac{\bm a\cdot\bm b}{|\bm b|} \]

而投影向量需要再乘上 \(\bm b\) 方向的单位向量：

\[ \dfrac{\bm a\cdot\bm b}{|\bm b|^2}\bm b \]
其中，\(\theta\in[0,\pi]\)，但是直线的夹角 \(\theta\in[0,\pi)\)，因为相反向量是完全不同的。

点积的几何意义即为：点积 \(\bm a \cdot \bm b\) 等于 \(\bm a\) 的模与 \(\bm b\) 在 \(\bm a\) 方向上的投影的乘积。

另外，我们定义向量点积数值上表示为（简记为先相乘再相加）：

\[ (x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=x_1x_2+y_1y_2 \]

可以发现，这种运算得到的结果是一个标量，并不属于向量的线性运算。

向量与零向量点积，结果为 \(\vec0\)。在不引起混淆的情况下，点积的点号可以省略不写。

点积的性质¶

向量点乘满足交换律：

\[ \bm a\cdot\bm b=\bm b\cdot\bm a=|\bm a|\cdot|\bm b|\cdot\cos\theta \]

向量点乘对数乘有结合律：

\[ (\lambda\bm a)\cdot\bm b=\lambda(\bm a\cdot\bm b)=\bm a\cdot(\lambda\bm b) \]

向量点乘对向量加法有分配率：

\[ (\bm a+\bm b)\cdot\bm c=\bm a\cdot\bm c+\bm b\cdot\bm c \]

但是向量点乘不满足结合律，

\[ (\bm a\cdot\bm b)\cdot\bm c\neq\bm a\cdot(\bm b\cdot\bm c) \]

注意到向量运算具有大部分的数字运算的性质（除了除法），因此可以当做字母计算。

可以得到，若 \(\bm b\neq\bm c\)，\(\bm a\cdot\bm b=\bm a\cdot\bm c\) 的充要条件是 \(\bm a\perp(\bm b-\bm c)\)，

\[ \bm a\cdot\bm b=\bm a\cdot\bm c\\ \bm a\cdot(\bm b-\bm c)=\vec0 \]

即，

\[ \bm a\perp(\bm b-\bm c) \]

我们可以发现，

\[ |\bm a+\bm b|^2-|\bm a-\bm b|^2=4\bm a\cdot\bm b\\ \bm a\cdot\bm b={1\over4}\left(|\bm a+\bm b|^2-|\bm a-\bm b|^2\right) \]

即极化恒等式，我们可以不通过求夹角的方式得出两向量点积。

同时，常用的，

\[ \begin{aligned} |\bm a+\bm b|&=\lambda\\ (\bm a+\bm b)\cdot(\bm a+\bm b)&=\lambda^2\\ |\bm a|^2+2\bm a\cdot\bm b+|\bm b|^2&=\lambda^2 \end{aligned} \]

即，

\[ |\bm a|^2+2\bm a\cdot\bm b+|\bm b|^2=|\bm a+\bm b|^2\\ \bm a\cdot\bm b={1\over2}\left(|\bm a+\bm b|^2-|\bm a|^2-|\bm b|^2\right)\\ \]

总结一下，上面两个式子，

\[ \bm a\cdot\bm b={1\over4}\left(|\bm a+\bm b|^2-|\bm a-\bm b|^2\right)\\ \bm a\cdot\bm b={1\over2}\left(|\bm a+\bm b|^2-|\bm a|^2-|\bm b|^2\right)\\ \]

再结合点乘的定义，

\[ \bm a\cdot\bm b=|\bm a|\cdot|\bm b|\cdot\cos\theta\\ \cos\theta={\bm a\cdot\bm b\over|\bm a|\cdot|\bm b|} \]

就可以求出向量夹角。

特殊的，

\[ \theta=0\,(\cos\theta=1),\,\bm a\cdot\bm b=|\bm a|\cdot|\bm b|\\ \theta=\pi\,(\cos\theta=-1),\,\bm a\cdot\bm b=-|\bm a|\cdot|\bm b|\\ \theta=\pi/2\,(\cos\theta=0),\,\bm a\cdot\bm b=0\\ \bm a\cdot\bm a=|\bm a|^2,\,|\bm a|=\sqrt{\bm a\cdot\bm a}\\ \]

经典的套路是，见模长便平方。

其中，第三条即，垂直向量向量点积等于零。

根据 \(\cos 90^\circ=0\)，\(\bm a \perp \bm b \iff \bm a\cdot \bm b=0\)。

柯西不等式向量形式¶

\[ |\bm a\cdot\bm b|\le|\bm a|\cdot|\bm b| \]

当且仅当两向量共线，取等。

据此，可以判断两向量共线：

两个非零向量 \(\bm a\) 与 \(\bm b\) 共线，等价于，有唯一实数 \(\lambda\)，使得 \(\bm b=\lambda \bm a\)。

由数乘的定义知，对于非零向量 \(\bm a\)，如果存在实数 \(\lambda\)，使得 \(\bm b=\lambda \bm a\)，那么 \(\bm a \parallel \bm b\)。

数值上，有判别式 \(\bm a = \lambda \bm b \iff |\bm a\cdot \bm b|=|\bm a||\bm b|\)。

极化恒等式向量形式¶

对于任意平面向量 \(\vec a,\vec b\) 有：

\[ 4\vec a\cdot\vec b=(\vec a+\vec b)^2-(\vec a-\vec b)^2 \]

常见形式为：

\[ \vecc{PA}\cdot\vecc{PB}=|PM|^2-\dfrac{1}{4}|AB|^2 \]

其中 \(M\) 为 \(AB\) 中点。

基底分解¶

平面向量基本定理¶

若基底 \(\bm e_1,\bm e_2\) 不共线，则对于平面内任一向量 \(\bm a\)，存在唯一实数 \(x,y\) 使得 \(\bm a=x\bm e_1+y\bm e_2\)。

形式化的，平面内的任一向量都可以唯一的表示为两个不共线向量的线性组合。

存在性的证明：感性理解（雾

唯一性的证明，反证：假设存在两组实数 \(\langle x_1,y_1\rangle\)、\(\langle x_2,y_2\rangle\)，

\[ \bm a=x_1\bm e_1+y_1\bm e_2=x_2\bm e_1+y_2\bm e_2\\ \bm e_1(x_1-x_2)=\bm e_2(y_2-y_1) \]

因为 \(x_1\neq x_2,y_1\neq y_2\)，则 \(\bm e_1,\bm e_2\) 共线，与条件不符，因此存在唯一性。

考虑构造性的证明，

若，

\[ \bm a\cdot\bm e_1=a_1,\,\bm a\cdot\bm e_2=a_2\\ \langle\bm e_1,\bm e_2\rangle=\theta \]

设，\(\bm a=x\bm e_1+y\bm e_2\)，用 \(a_1,a_2,\theta\) 表示 \(\bm a\)。

考虑，

\[ \bm e_1\bm e_2=\cos\theta\\ \bm a\cdot\bm e_1=x+y\bm e_1\bm e_2=a_1\\ \bm a\cdot\bm e_2=y+x\bm e_1\bm e_2=a_2 \]

列出方程组，

\[ \begin{cases} x+y\cos\theta=a_1\\ y+x\cos\theta=a_2 \end{cases} \]

解得，

\[ \left\{\begin{aligned} x={a_1-a_2\cos\theta\over\sin^2\theta}\\ y={a_2-a_1\cos\theta\over\sin^2\theta} \end{aligned}\right. \]

这个思想很重要，常用一个很奇怪的式子，去点乘两个不共线向量。

共线向量基本定理¶

对于线段 \(AB\) 及一点 \(Q\)，若存在一点 \(O\) 满足，

\[ \overrightarrow{OQ}=\lambda\overrightarrow{OA}+(1-\lambda)\overrightarrow{OB} \]

则 \(Q\) 在直线 \(AB\) 上，即 \(A,B,Q\) 三点共线。

证明如下：

\[ \begin{aligned} \vecc{AQ}&=\lambda\vecc{AB}\\ \vecc{OQ}-\vecc{OA}&=\lambda(\vecc{OB}-\vecc{OA}) \end{aligned} \]

类似的，若 \(C\) 是线段 \(AB\) 中点，则对于任意一点 \(O\)，有，

\[ \overrightarrow{OC}={1\over2}\overrightarrow{OA}+{1\over2}\overrightarrow{OB} \]

而坐标表示，\((a,b)\) 与 \((c,d)\) 平行，等价于 \(ad=bc\)。

等系数和线¶

证明过程：

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