天体概述¶
重力加速度¶
定义表面的物体：不绕着星球转，不一定在地面。
同步卫星不属于表面物体。
地面位置¶
由万有引力等于重力：
\[ G\dfrac{Mm}{R^2}=mg \]
得：
\[ MG=R^2g \]
这也是联系天体运动和重力加速度的黄金代换式。
整理得 \(g=\dfrac{MG}{R^2}\)。
表面以上¶
由万有引力等于重力，得 \(MG=(R+h)^2g\)。
整理得 \(g=\dfrac{MG}{(R+h)^2}\)。
星球内部¶
考虑万有引力，只有星球的一部分对物体产生万有引力。
对物体产生万有引力的部分的星球质量：\(M'=\dfrac{4}{3}\pi(R-h)^3\rho\)。
由 \(G\dfrac{M'm}{(R-h)^2}=mg\)，得 \(g=\dfrac{G}{(R-h)^2}M'\)。
整理得，\(g=\dfrac{G}{(R-h)^2}\times\dfrac{4}{3}\pi(R-h)^3\rho=\dfrac{4}{3}G\pi(R-h)\rho\)。
加速度比值¶
根据，
\[ MG=gR^2 \]
得出，
\[ \dfrac{g_1R_1^2}{g_2R_2^2}=\dfrac{M_1}{M_2} \]
极点位置¶
到地轴的距离为 \(0\)，即向心力 \(F_c=0\)。
展开：
\[ \begin{aligned} F_g&=G+F_c\\ MG&=R^2g_0\\ M&=\dfrac{R^2g_0}{G} \end{aligned} \]
赤道位置¶
此时 \(G\) 和 \(F_c\) 方向相同，则 \(F_g=G+F_c\)。
展开：
\[ \begin{aligned} F_g&=G+F_c\\ G\dfrac{Mm}{R^2}&=mg+m\omega^2R\\ \dfrac{MG}{R^2}&=g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R\\ MG&=R^2g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R^3 \end{aligned} \]
联立上述二式，可解得 \(g_0\)：
\[ \begin{aligned} \dfrac{R^2g_0}{R^2}&=g+\omega^2R\\ g_0&=g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R \end{aligned} \]
同时，也可解得 \(R\)：
\[ \begin{aligned} R^2g_0&=R^2g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R^3\\ g_0&=g+\dfrac{4\pi^2}{T^2}R\\ R&=\dfrac{(g_0-g)T^2}{4\pi^2} \end{aligned} \]
联立上述四式，可解得 \(M\)，不过这玩意没啥用。
星球密度¶
解：
\[ \begin{aligned} \rho&=\dfrac{M}{V}=\dfrac{\frac{R^2g_0}{G}}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\dfrac{3R^2g_0}{4\pi GR^3}\\ &=\dfrac{3g_0}{4\pi GR}=\dfrac{3g_0}{4\pi G\frac{(g_0-g)T^2}{4\pi^2}}=\dfrac{3g_0\pi}{G(g_0-g)T^2}\\ &=\dfrac{g_0}{g_0-g}\cdot\dfrac{3\pi}{GT^2} \end{aligned} \]
这是根据极点、赤道重力加速度计算星球密度，下面有简化版的。
星球密度¶
定义式¶
古老的公式：
\[ \rho=\dfrac{m}{V} \]
\[ V=\dfrac{4}{3}\pi r^3 \]
自力更生 g－R 法¶
由，
\[ MG=gR^2 \]
得，
\[ M=\dfrac{gR^2}{G} \]
因此，
\[ \rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{gR^2\cdot3}{G\cdot4\pi R^3}=\dfrac{3g}{4\pi GR} \]
借助外援 T－R 法¶
由，
\[ T^2MG=4\pi^2r^3 \]
得，
\[ M=\dfrac{4\pi^2r^3}{GT^2} \]
因此，
\[ \rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{4\pi^2r^3\cdot3}{GT^2\cdot4\pi R^3}=\dfrac{3\pi r^3}{GT^2R^3} \]
贴地飞行时（\(r=R\)），可以写出：
\[ \rho=\dfrac{3\pi}{GT^2} \]
这也是最经典的式子。
借助外援 v－R 法¶
由，
\[ MG=rv^2 \]
得，
\[ M=\dfrac{rv^2}{G} \]
因此，
\[ \rho=\dfrac{M}{V}=\dfrac{rv^2\cdot3}{G\cdot4\pi^2 R^3}=\dfrac{3rv^2}{4\pi^2GR^3} \]
借助外援 v－T 法¶
由，
\[ T=\dfrac{2\pi r}{v} \]
得，
\[ r=\dfrac{vT}{2\pi} \]
带入上一个方法，
\[ \rho=\dfrac{3Tv^3}{8\pi^3GR^3} \]
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