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天体运动

万有引力定律

相关概念

距离和高度定义：

物理量 符号 表达式
星球半径 \(R\)
质心间距 \(r\) \(r=R_1+d+R_2\)
轨道高度 \(h\) 视为质点后有 \(h=r-R\)

特殊的：

  • 贴地飞行、忽略高度的近地卫星：\(r=R\)。

  • 轨道高度远大于星球半径、忽略星球半径：\(r=h\)。

万有引力定律

公式：

\[ F=G\dfrac{Mm}{r^2} \]

其中

  • 质心间距 \(r\)，一般表示为 \(r=R_1+d+R_2\)。

  • 万有引力常量 \(G\)，一般取 \(G=\pu{6.67\times10^-11N*m^2/kg^2}\)。

同时，可得引力加速度：

\[ a_g=\dfrac{F_g}{m}=G\dfrac{M}{r^2} \]

同样，引力势能定义无穷远处为 \(0\)，则：

\[ E_p=-G\dfrac{Mm}{r} \]

如果选取地面为引力势能的零势能面，那么地面上的物体的引力势能就可以近似为重力势能。

壳层定理

壳层定理可简化重力于对称球体内部和外部的贡献，最先由牛顿在所推演出来，其阐明了

  1. 球对称物体对于球体外的重力贡献如同将球体质量集中于球心。

  2. 在对称球体内部的物体不受其外部球壳的重力影响。

推论一：在均匀球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为 \(0\)。

理解方法：取球壳内任意一点 \(P\)，过这个点确定任意一条直线，做出一个锥形角，两个锥形在球壳上形成了一个投影，此时距离 \(P\) 点近的一部分面积小、距离 \(P\) 远的一部分面积大，感性理解合力为零。

严格证明：

取一个微小锥形角 \(\mathrm{d}\Omega\)，在球壳上两个面元 \(\mathrm{d}S_1,\mathrm{d}S_2\)，距离点 \(P\) 距离分别为 \(r_1,r_2\)。

根据球壳的几何性质，面元面积与到 \(P\) 的距离平方成正比：

\[ \dfrac{\mathrm{d}S_1}{\mathrm{d}S_2}=\dfrac{r_1^2}{r_2^2} \]

因此，两区域的引力大小相等：

\[ G\dfrac{\sigma\mathrm{d}S_1}{r_1^2}=G\dfrac{\sigma\mathrm{d}S_2}{r_2^2} \]

将球壳划分为无数对这样的对称面元，每对引力均抵消，故总合力为零。

推论二：

在半径为 \(R\) 的均匀球体内部，距离球心 \(r(r<R)\) 处，质点受到的万有引力等于半径为 \(r\) 的同心球体对其的万有引力，公式如下：

\[ F=G\dfrac{M'm}{r^2}=G\dfrac{m}{r^2}\cdot M\dfrac{r^3}{R^3}=G\dfrac{Mm}{R^3}r \]

利用推论一推导即可。

引力的计算

模型一：割补法。

模型二：两个半径相同、材质相同的实心球紧贴，则其万有引力和球体半径 \(r\) 的关系：

\[ F=G\dfrac{m^2}{(2r)^2}=\dfrac{G\left(\rho\cdot\dfrac{4}{3}\pi r^3\right)^2}{4r^2}=\dfrac{4}{9}G\pi^2\rho^2r^4 \]

即：半径变为原来的 \(k\) 倍，万有引力变为原来的 \(k^4\) 倍。

开普勒三大定律

开普勒第一定律

又称：椭圆定律、轨道定律。

行星绕太阳的轨迹是椭圆轨道，太阳在椭圆的一个焦点上。

开普勒第二定律

又称：等面积定律。

在相等时间内，行星与太阳的连线扫过的面积相等。

结论：近日点速度较大，远日点速度较小。

开普勒第三定律

又称：周期定律。

行星轨迹的半长轴 \(a\) 的三次方与公转周期 \(T\) 的平方的比值是一个定值 \(k\)。

用公式表示为：

\[ \dfrac{{a_1}^3}{{T_1}^2}=\dfrac{{a_2}^3}{{T_2}^2}=k \]

其中 \(k\) 是常数，只与中心天体的质量有关。

\[ k=\dfrac{GM}{4\pi^2} \]

对于圆轨道的，现在可以由万有引力等于向心力推导：

\[ \begin{aligned} G\dfrac{Mm}{r^2}&=m\dfrac{4\pi^2}{T^2}r\\ \dfrac{r^3}{T^2}&=\dfrac{GM}{4\pi^2} \end{aligned} \]

若两天体绕同一中心天体，则，

\[ \left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3=\left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2 \]

因此，若一天体轨道半径为另一天体的 \(\lambda\) 倍，则其周期为：

\[ T'=T\sqrt{\lambda^3} \]

也就是，

\[ \lambda=\sqrt[3]{\left(\dfrac{T'}{T}\right)^2} \]

另外，根据这个可以推导天体质量或周期。

三大宇宙速度

第一宇宙速度

第一宇宙速度（又称环绕速度）是指在地球上发射的物体绕地球飞行作圆周运动所需的最小初始速度，也是环绕地球做圆周运动的最大环绕速度。

物体从地面发射，即 \(r=R\)，那么：

\[ v_1=\sqrt{\dfrac{GM}{R}}=\sqrt{\dfrac{R^2g}{R}}=\sqrt{gR}\approx\pu{7.9km/s} \]

其中的 \(GM=R^2g\) 后面会提到。

也可以和圆周运动离心运动联系起来。

补充：星球的瓦解

星球表面的（线）速度一定不超过第一宇宙速度 \(v=\sqrt{gR}\)。

当速度超过第一宇宙速度，星球表面的物体就会漂浮，导致星球瓦解。

也就是说，半径为 \(R\) 的星球，瓦解的角速度为 \(\omega=\sqrt{g/R}\)。

第二宇宙速度

第二宇宙速度（又称脱离速度、逃逸速度）是指在地球上发射的物体摆脱地球引力束缚，飞离地球所需的最小初始速度。

物体从地面发射，即 \(r=R\)，那么从动能和重力势能的角度：

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}mv_2^2&=G\dfrac{Mm}{R}\\ v_2&=\sqrt{\dfrac{2GM}{R}}\\ &=\sqrt{2gR} \end{aligned} \]

也就是说：

\[ v_2=\sqrt{2}v_1\approx\pu{11.2km/s} \]

第三宇宙速度

第三宇宙速度（又称周期定律），是指在地球上发射的物体摆脱太阳引力束缚，飞出太阳系所需的最小初始速度。

在地球轨道上，要脱离太阳引力所需的初始速度为 \(42.1\mathrm{km/s}\)；地球绕太阳公转时令地面所有物体已具有 \(29.8\mathrm{km/s}\) 的初始速度。

故此若沿地球公转方向发射，还需要提供 \(12.3\mathrm{km/s}\) 的动能，因此在脱离地球引力以外额外再加上适当的动能即可：

\[ \begin{aligned} \dfrac{1}{2}m{v_3}^2&=\dfrac{1}{2}m{v_2}^2+\dfrac{1}{2}m\Delta v^2\\ {v_3}^2&={v_2}^2+\Delta v^2\\ v_3&=\sqrt{{v_2}^2+\Delta v^2}\\ v_3&\approx\sqrt{11.2^2+12.3^2}\approx 16.7\mathrm{km/s} \end{aligned} \]

记忆方法：

  • 第一 \([7.9]\)。

  • 第二 \([1+1]\)（\(1+1=2\Rightarrow11.2\)）。

  • 第三 \([1+6]\)（\(1+6=7\Rightarrow16.7\)）。

天体运动概述

标准重力参数

假设 \(m\ll M\)，因此整个系统的标准重力参数就是主天体标准重力参数：

\[ \mu=GM \]

单位为 \(\pu{km^3s^-2}\)，对于圆轨道：

\[ \mu=rv^2=r^3\omega^2 \]

根据开普勒第三定律（其中 \(a\) 表示半长轴）：

\[ \mu=4\pi^2\dfrac{a^3}{T^2} \]

因为课内不学，因此下文大多以 \(GM\) 形式出现。

匀速圆周运动

天体运动公式：

与 \(\mu\) 相关 加速度和周期
\(v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}}\) \(a=\dfrac{MG}{r^2}\)
\(\omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}\) \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}\)

黄夫人公式：\(T^2MG=4\pi^2r^3\)。

物理量的变化：

  • 当 \(r\) 增大时，\(v\) 减小、\(\omega\) 减小、\(a\) 减小，\(T\) 增大（前提：圆周运动）。

  • 简记为：高轨低速大周期（速度：线速度、角速度、加速度）。

代数运算：常取 \(G\approx 20/3\times10^{-11}\)（忽略单位），\(\pi^2\approx 10\)。

双星和多星

两个星球同时绕一质心 \(O\) 做匀速圆周运动。

性质：圆周轨道双星 \(\omega\) 相同，理解，必然。

基本原理为 \(F_g=F_c\)，列式：

\[ \begin{aligned} G\dfrac{m_Am_B}{L^2}&=m_A\omega^2r_{OA}\\ G\dfrac{m_Am_B}{L^2}&=m_B\omega^2r_{OB}\\ \end{aligned} \]

两式做比：\(m_Ar_{OA}=m_Br_{OB}\)。

两式做和：

\[ GM=G(m_A+m_B)=\omega^2L^2(r_{OA}+r_{OB})=\omega^2L^3 \]

其中 \(M=m_A+m_B\)。

结论：

  1. 此双星系统中，两星所受万有引力大小相等。
  2. 此双星系统中，\(\omega\) 只与两星总质量 \(M\) 和间距 \(L\) 有关。
  3. 若一星质量加 \(\Delta m\)，一星质量减 \(\Delta m\)，\(\omega\) 不变。
  4. 此双星系统中，一星质量越大，公转半径越小。
  5. 此双星系统中，根据两星 \(\omega\) 相同，则 \(v=r\omega\)，公转半径越大，速度越大。
  6. 综上两条，一星质量越大，公转半径越小，速度越小。

对于 \(N\) 体问题，一般只考虑星体依次连线，或者形状为正 \(N\) 边形的情况。

角速度公式 周期公式
双星系统 \(\omega=\sqrt{\dfrac{GM}{r^3}}\) \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{GM}}\)
三星系统 \(\omega=\sqrt{\dfrac{3GM}{r^3}}\) \(T=2\pi\sqrt{\dfrac{r^3}{3GM}}\)

多星问题

此时，存在两个可用的条件，\(\omega\) 相同，以及万有引力的合力提供向心力。

列式即可，也可以使用质心解决。

相遇与追及

总体思路：用相对角速度算时间，以速度小的（一般为高轨道）为基准。

公式：\(t=\dfrac{\mathrm{rad}}{\Delta\omega}\)，即相对角度除以相对角速度。

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