静电场与电容器¶

基本概念¶

场¶

在物理里，空间中弥漫着的基本相互作用被命名为场。场被认为是延伸至整个空间的，但实际上，每一个已知的场在够远的距离下，都会缩减至无法量测的程度。

例如，在牛顿万有引力定律里，重力场的强度是和距离平方成反比的，因此地球的引力场会随着距离很快地变得不可测得（在宇宙的尺度之下）。

哲学上来讲：场占有空间，含有能量、动量，它形成了一个空间的状态。场的存在排除了真正的真空：真空中没有物质，但并不是没有场的。

Note

当一个电荷移动时，另一个电荷并不会立刻感应到。第一个电荷会感应到一个反作用力，并获得动量，但第二个电荷则没有感应，直到第一个电荷移动的影响以光速传递到第二个电荷那里，并给予其动量之后。场的存在解决了关于第二个电荷移动前，动量存在在哪里的问题。因为依据动量守恒定律，动量必存在于某处。物理学家认为动量应该存在于场之中。如此的认定让物理学家们相信电磁场是真实的存在，使得场的概念成为整个现代物理的范式。

作用力所做的功跟移动路径无关的力称为保守力（例如重力）。

类似保守力，也有保守场的定义：曲线积分¹的值与路径无关的场为保守向量场。

另外的定义有如，如果力的矢量场是保守的，则这个力称为保守力。

场线¶

PS：右图为矢量叠加的电场线。

在空间里，矢量场在每一个位置，都设定了一个方向，因此场线不能相交，并且场线在每一个位置的切线平行于矢量场在那一个位置的方向。

常见的场线有磁场线：在磁铁的四周洒散铁粉，可以清楚地显示出磁场的磁场线。

大多数时候，场线只是一个数学建构，少数情况场线有实际的物理意义。

电场¶

电场是存在于电荷周围，能传递电荷与电荷之间相互作用的物理场。

电场是保守场，电势能只跟初始位置与终止位置有关，与路径无关。

在电荷周围总有电场存在；同时电场对场中其他电荷发生力的作用（电场力）。

根据试探电荷是否受力可以知道是否存在电场。

电场线¶

静电荷的场线称为电场线。

从正电荷往外扩散	朝着负电荷聚集

电场线用于描述电场，是不存在的，有场的方向（用箭头表示）和大小（用疏密表示）两个要素。

场的方向与试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力的方向相同，与该点电场强度 \(E\) 方向相同。

根据矢量的性质，电场线可以直接矢量叠加，叠加与磁感线的叠加类似。

对于一个电偶极子，电场线总是从正电荷流出，汇入负电荷。

根据场线的性质，一个位置的电场方向总是沿着这个位置的电场线的切线方向。

对于左图：

两点电荷连线：电场强度先减小后增大。
两点电荷连线的垂直平分线：从内到外先增大再减小。

对于右图：

两点电荷连线：电场强度先减小后增大。
两点电荷连线的垂直平分线：从内到外逐渐减小。

电场强度¶

电场强度是用来表示电场的强弱和方向的物理量，常用 \(E\) 表示。

电场中某一点的电场强度的方向与试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力的方向相同。

电场强弱可由试探电荷所受的电场力与试探点电荷带电量的比值确定，即矢量比值定义，由于电场力满足矢量叠加原理，电场强度也满足叠加原理。

定义式为：

\[ \bm E=\dfrac{\bm F}q \]

国际单位为伏特每米 \(\mathrm{V/m}\) 或牛顿每库仑 \(\mathrm{N/C}\)（这两个单位实际上相等），常用单位有伏特每厘米 \(\mathrm{V/cm}\)。

常见误区：

在电场中某一点，试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力与其所带电荷的比值是一个与试探点电荷无关的量。
只要有电荷存在就有静电场存在，电场的存在与否是客观的，与是否引入试探点与电荷无关，引入试探点电荷只是为了检验电场的存在和讨论电场的性质而已。正像人们使用天平可以称量出物体的质量，如果不用天平去称量物体，物体的质量仍然是客观存在的一样。

试探点电荷应该满足两个条件：

它的线度必须小到可以被看作点电荷，以便确定场中每点的性质；
它的电量要足够小，使得由于它的置入不引起原有电场的重新分布。

点电荷电场强度：

我们带入将库仑力公式带入电场强度定义式，得到：

\[ E=k\dfrac{Q}{r^2} \]
其中 \(Q\) 表示的是场源电荷。

电势能¶

引入

我们知道，重力做功会消耗重力势能，即：

\[ W_G=-\Delta E_{pG} \]

类似的，电场力做功会消耗电势能，即：

\[ W_{电}=-\Delta E_{p电} \]

在匀强电场中：

\[ W_{电}=\bm F_{电}\cdot\bm x=F_{电}x\cos\theta=EqH \]

这是很类似重力势能 \(W_G=mgH\) 的。

在静电学里，电势能是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关，单位为焦耳。

电势的数值不具有绝对意义，只具有相对意义，因此为了便于分析问题，必须设定一个参考位置，并把它设为零，称为零势能点。

当物理系统内的每一个点电荷相距无穷远且其相对静止不动时，这一物理系统通常可以设定为电势能等于零的参考系统。

单点电荷系统

只拥有单独一个点电荷的物理系统，其电势能为零，因为没有任何其它可以产生电场的源电荷，所以，将点电荷从无穷远移动至其最终位置，外机制不需要对它做任何机械功。

特别注意，这点电荷有可能会与自己生成的电场发生作用。然而，由于在点电荷的位置，它自己生成的电场为无穷大，所以，在计算系统的有限总电势能之时，一般刻意不将这自身能纳入考量范围之内，以简化物理模型，方便计算。

电势和电势差¶

在静电学里，电势（又称电位）是描述电场中某一点能量高低的物理量。

电场中某处的电势等于处于电场中该位置的单位电荷所具有的电势能，单位为伏特：

\[ \varphi=\dfrac{E_{p电}}{q} \]

电势的数值不具有绝对意义，只具有相对意义，因此为了便于分析问题，必须设定一个参考位置，并把它设为零，称为零势能点。

一个直观的定义为：检验电荷从零势能点，经过任意路径，克服电场力，以缓慢、没有产生加速度的方式移动到某位置，则在这位置的电势等于因移动检验电荷所做的功与检验电荷的电荷量的比值。

电势差：用字母 \(U\) 表示，单位为伏特 \(\text V\)，有表达式

\[ U_{ab}=\varphi_a-\varphi_b \]

等势面：所有电势相等的面构成的面称为等势面：

电场线和等势面总是垂直的。
沿着等势面移动的电荷电场力不做功（解释：运动方向等势面与受力方向电场线垂直）。
等差等势面越密集，电场强度越大（解释：类比地理等高线）。

注意：与感生电场不同，静电场的电场线是不闭合的。

电场的规律¶

电场与小球平衡¶

如图：

形成等边三角形后，按照 \(1:1:2\) 的关系，库仑力等大同向，此时给一个匀强电场即可平衡。

电势的规律¶

电势沿着电场线逐渐降低：

假设有正电荷 \(q\)，沿着电场线移动，则 \(W=Fx=Eqx\) 为正功，电势能 \(E_p=\varphi q\) 减小，因为 \(q\) 是正数，所以 \(\varphi\) 减小。
假设有负电荷 \(q\)，沿着电场线移动，则 \(W=Fx=Eqx\) 为负功，电势能 \(E_p=\varphi q\) 增大，因为 \(q\) 是负数，所以 \(\varphi\) 减小。

点电荷和电势：

设无穷远处电势为零，因为正电荷周围电场线向外，因此正电荷向外电势逐渐降低到零，且正电荷周围电势为正。
设无穷远处电势为零，因为负电荷周围电场线向内，因此负电荷向外电势逐渐增加到零，且负电荷周围电势为负。

电场同一位置，电势相同，带不同电荷量的物体电势能不同。

电势的比较¶

电势只与该点到正负点电荷的距离有关：

距离正电荷越近，电势越大；距离负电荷越近，电势越小；距离正电荷和负电荷距离相等的点（连线垂直平分线上的点）电势均等于零。
沿着电场线，电势逐渐降低。

比较电势能就是比较电势，因为 \(E_p=\varphi q\)，其中 \(q\) 为定值。

回忆：比较电场强度直接放试探点电荷，注意电场强度是矢量，要比较方向。

图像问题¶

做题方法：在 \(x\) 轴上画出电场线

\(E-x\) 图像：注意到 \(E\) 的正负就表示电场线方向，因此只需要找曲线零点分段即可。
\(\varphi-x\) 图像：注意到 \(\varphi\) 递增的方向就是电场线的方向，因此只需要分段找单调区间即可。

特殊性质：在 \(\varphi-x\) 图像中，一点的曲线斜率大小即为该点的场强大小。

证明：根据 \(\varphi_A-\varphi_B=U_{AB}=Ed\) 显然。

电场的描述¶

电偶极子¶

真空中一对相距为 \(l\)，带等量异号电荷的点电荷系统 \((-q,+q)\)，且 \(l\) 远小于讨论中所涉及的距离，这样的电荷体系称为电偶极子，连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线。

将电偶极子中电荷的电量 \(q\) 与两点电荷间距 \(l\) 的乘积定义为电偶极矩，即：

\[ \bm p=q\bm l \]

电偶极矩是矢量，方向与 \(l\) 的方向一致，由 \(-q\) 指向 \(+q\)。

微元电场叠加¶

根据力的合成原理，如果空间内一点收到不止一个电荷的影响，则他们所形成的电场可以叠加，因为电场是一个矢量，所以需要用矢量叠加原理来叠加。

通常去一个 \(\Delta l\)，然后当成点电荷用库仑定律处理。

几何电场叠加¶

特殊几何形态：

圆环：有且仅有圆心场强为零，从圆心穿出场强先增大后减小。
圆球、球壳：可以看为球心的一个点电荷。

注意到带电球壳、球体类似于天体，同样的：

均匀带电球壳内、外的电场强度：

\[ E=\begin{cases} 0&r<R\\ \dfrac{kQ}{r^2}&r\ge R \end{cases} \]
均匀带电球体内、外的电场强度：

\[ E=\begin{cases} \dfrac{kQ}{R^3}r&r<R\\ \dfrac{kQ}{r^2}&r\ge R \end{cases} \]

特殊电场叠加¶

点电荷和接地金属板：

特殊非点电荷电场：

先分析容易分析的点的场强，然后根据对称性得到圆盘对侧的场强。
对于半个球壳一类不规则的，根据空间的对称性得出另一半球壳的理论场强，然后对称计算。

多点电荷电场：

根据 \(\bm E_{总}=\bm0=\bm E_1+\bm E_{n-1}\)，得出 \(\bm E_1=-\bm E_{n-1}\)。
将多个点中单个点拆除，如果有特殊点则将特殊点先化为正常点，然后考虑特殊点的贡献。

等效重力场¶

注意到匀强电场中一个带电物体受到的电场力是恒力，其重力也是如此。

我们将这个电场力和重力合并为等效重力，类似于将空间旋转，当成仅受重力或电场力来分析。

这个可以理解为重力场和电场的合成，即为等效重力场。

如图，如果从 \(A\) 点静止释放，在 \(B\) 点恰好速度为零，则 \(C\) 点一定是动能最高的点，\(OC\) 方向即为等效重力场方向。

静电动力学¶

非匀强电场做功¶

描述的是电荷 \(q\) 从 \(A\) 移动到 \(B\)，做功大小与 \(\varphi_A-\varphi_B\) 的关系。

\[ W_{AB}=U_{AB}q \]

推导：

\[ W_{AB}=-\Delta E_p=E_{pA}-E_{pB}=\varphi_Aq-\varphi_Bq=U_{AB}q \]

匀强电场场强¶

描述的是匀强电场两点间场强与电势的关系：

\[ E=\dfrac Ud \]

其中 \(d\) 表示沿着电场线的长度，注意电场线一定是直线（匀强电场）。

推导：

\[ \begin{aligned} W_{AB}&=Fx\cos\theta\\ U_{AB}q&=Eq\cos\theta\\ U_{AB}&=Ed \end{aligned} \]

这个公式也可以描述在两个平行金属板间通入电压所形成的匀强电场的场强。

注意：因为这里的 \(\theta\) 是夹角，因此请注意此时公式是不能确定正负号的，即：

\[ U=\pm Ed \]

公式汇总¶

电场中，物理量存在关系：

物理量	单位	物理意义	公式
电荷量 \(Q\)	库伦 \(\text C\)	带电物体所带电荷量
场强 \(E\)	牛顿每库伦	电场的强度，单位电荷所受电场力大小	\(E_{点}=k\dfrac{Q}{r^2}\)
电场力 \(F_{电}\)	牛顿	点电荷在电场中受到的力	\(E=\dfrac Fq\)
电场力做功 \(W_{电}\)	焦耳	电场力对电荷做的功	\(W=Fx\cos\theta\)
电势能 \(E_{p电}\)	焦耳	电场中带电物体所具有的势能	\(W_{电}=-\Delta E_{p电}\)
电势 \(\varphi\)	伏特	电场中单位电荷所带电势能	\(\varphi=\dfrac{E_p}q\)
电势差 \(U\)	伏特	电场中两点电势的差值	\(U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B\)

由此得出推导公式 \(W=Uq\) 和 \(E=\dfrac Ud\)。

求电势：

\(\varphi=\dfrac{E_p}{q}\)。
\(U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B\)。
联立电场力做功。

求电势差：

\(U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B\)。
\(E=\dfrac Ud=\dfrac W{qd}\)。
注意正负号。

注意，在不同的公式中，\(q\) 是否带入正负号是不同的：

库仑力、电场力等表示矢量的大小的，不需要带入符号。
功能 \(W=Uq,E=\varphi q\) 需要带入符号，因为这些是标量。

轨迹问题¶

三线：电场线，等势线，轨迹线。

电场线和等势线垂直。
电场线和等势线的疏密都能反应电场强度，进而根据 \(ma=F=Eq\) 可以推出电场力和加速度的大小。
轨迹线和电场线重合：电场线为直线，且 \(v_0\) 与 \(F\) 共线。

解题方法：

判断粒子受力情况：找到轨迹线与电场线或等势线交点，则力一定平行与电场线垂直于等势线，根据牛顿第二定律得出合外力一定指向轨迹线弯曲的方向。
判断加速度、动能：根据力与速度的夹角，夹角为锐角则加速，如果为钝角则减速。
判断电势能、电势：根据动能增减，得出电势能增减，再根据粒子带电正负性可以得出电势大小。

带电正负、电场方向、电势大小，可以互相推导，如果都不知道就都不知道。

点电荷特殊电场，此时电场力就是库仑力：

判断粒子受力情况：连线，根据库仑定律可得。
判断加速度、动能：注意此时可能会出现先增大后减小，等情况

在点电荷中，通常存在有对称性。

匀强电场¶

匀强电场在某个区域内各处电场强度大小相等，方向相同。

根据 \(\bm F=\bm Eq\)，在匀强电场中，带电物体受力始终是不变的，是恒力。

因为本身性质和重力类似，因此可以得出很多运动学动力学的结论，尤其是曲线运动。

有时不可忽略带电物体自身的重力，此时通常将重力和电场力做矢量和，即等效重力。

根据 \(U=Ed\)：

两平行边，电压和长度成正比。
一条边上，电势差与长度成正比。

找等势面：

根据 \(E=U/d\) 求场强，\(d\) 是顺着电场线的距离。
我们一定需要找一个电场线方向，可以直接找等势面。
连接两个等势点得到等势面，其垂直方向即为电场线方向。

电容器¶

电容器的概念¶

电容器（符号表示为「卝」）是将电能储存在电场中的被动电子器件，其储能特性可以用电容表示。

构成：两块金属板加一个绝缘介质。具体的，平行板电容器是一种简单的电容器，是由互相平行、以空间或介电质隔离的两片薄板导体构成。

电容：表示电容器储存电荷的能力。用 \(C\) 表示，单位为 \(\text F\) 法拉。

电容器的应用

在电路中邻近的导体之间即存在电容，而电容器是为了增加电路中的电容量而加入的电子器件。

当电容器和其充电线路分离后，电容器会储存能量，因此可作为电池，提供短时间的电力。理论上电容器可以充电到很高的电压，例如几百伏特，但因为材料限制和介质击穿的原因，通常不会特别高。

电容器常用在配合电池使用的电子设备中，在更换电池时提供电力，避免储存的资料因没有电力而消失。在电容充电后关闭电源，电容内的电荷仍可能储存很长的一段时间，此电荷足以产生电击，或是破坏相连结的仪器。

在维修具有大电容的设备之前，需确认电容已经放电完毕。为了安全上的考量，所有大电容在组装前需要放电。高电压的电容器若在启动时加入缓启动的机制，限制其突入电流，可以延长其设备寿命，提升器件可靠度，也可以避免高电压下造成的危害。

假设这两片导板分别载有负电荷与正电荷，所载有的电荷量分别为 \(−Q\)、\(+Q\)，两片导板之间的电势差为 \(V\)，则这电容器的电容 \(C\) 为：

\[ C={Q\over V} \]

电容的决定式¶

\[ C={\varepsilon_rS\over4\pi kd} \]

其中 \(\varepsilon_r\) 表示相对介电常数，定义为：

\[ \varepsilon_r={\varepsilon\over\varepsilon_0}={C\over C_0} \]

用 \(\varepsilon_0\) 表示真空电容率，\(\varepsilon\) 表示电介质的电容率。

\[ \varepsilon_0\approx8.854\ 187\ 817\dots\times10^{-12}\mathrm{(A^2s^4kg^{-1}m^{-3})\ or\ (F/m)} \]

相对介电常数通常与绝缘介质有关，通常真空的相对介电常数最小。
其中 \(S\) 表示正对面积，即垂直接触的面积。
其中 \(d\) 表示两板间距，即两平面的距离。
其中 \(k\) 表示静电常数，详见库仑力。

进行推导，如果一个初始的电容器绝缘介质为真空，则往其中插入任何介质都会导致电容增加：

如果插入导体：则 \(d\) 减小，\(C\) 增大。
如果插入绝缘体：则 \(\varepsilon\) 增大，\(C\) 增大。

电容器的动态变化¶

公式：

\[ \left\{ \begin{aligned} C&=\dfrac QU\\ C&=\dfrac{\varepsilon_rS}{4\pi kd}\\ E&=\dfrac Ud \end{aligned} \right. \]

可以推导：

\[ Q=\dfrac{\varepsilon_r ES}{4\pi k} \]

和

\[ E=\dfrac{4\pi kQ}{\varepsilon_r S} \]

解题思路：

若连接电压，则 \(U\) 不变，根据 \(d\) 推导 \(C,Q,E\) 的变化。
若不连接电压，则 \(Q\) 不变，根据 \(d\) 推导 \(C,U,E\) 的变化。
若 \(Q\) 变化，则一定处于充电或放电的状态中，闭合电路中存在电流且如果是充电则顺着电池方向，如果是放电则逆着电池方向。

解题方法：

找出电场线方向，让卖家列出上面三个式子。
根据 \(d\) 的变化推出 \(C,E,Q,U\) 的变化。
对于求 \(\varphi\) 的，列出一个 \(Ed_{AB}=U_{AB}=\varphi_A-\varphi_B\) 的 \(d_{AB}\) 不变的式子，根据 \(E\) 的变化和 \(\varphi_A,\varphi_B\) 中不变的一个，推导另一个的变化情况。

注意：根据 \(U=Ed\) 求解时，一定要注意这个式子是无法确定正负号，即 \(U_{AB}=-Ed_{BA}\) 是成立的。因此我们可以将下标按照电场线的方向书写，即电场线从 \(A\) 到 \(B\) 就列 \(AB\) 的式子，这样可以避免正负号的问题。

加速电场¶

加速电场基本概念¶

将一个点电荷从匀强电场 \(A\) 点静止释放，运动到 \(B\) 的速度。

方法一：功动能定理。

\[ U_{AB}q=W=\dfrac12mv_B^2 \]

解得：

\[ v_B=\sqrt{\dfrac{2U_{AB}q}m} \]

方法二：牛二。

\[ ma=F=Eq=\dfrac{U_{AB}}{d_{AB}}q \]

\[ 2ad_{AB}=v_B^2 \]

解得：

\[ v_B=\sqrt{\dfrac{2U_{AB}q}m} \]

总结：\(W=Uq\) 要注意正负号，数值与正负号可以同时带入也可以后确定正功负功。

加速电场穿出问题¶

模型一：连接电源。

如右图，两个平行板上有一对小孔（对电场的影响不计），初始状态为从 \(P\) 点静止释放，带电质点恰好不穿出下板（记为 \(Q\) 点）。

此时 \(U\) 是不变的，那么列出功动能定理：

\[ \begin{aligned} mg(d+d)+W_{电}&=0-0\\ mg2d-Uq=0 \end{aligned} \]

若移动上板：因为重力做功和 \(Uq\) 都是不变的，因此质点恰好不穿出。
若向下移动下板：此时重力做功增大，\(Uq\) 不变，在 \(Q\) 点时动能大于零，因此会穿出。
若向上移动下板：此时重力做功减小，\(Uq\) 不变，在 \(Q\) 点时动能小于零，这是不合理的，即无法到达 \(Q\) 点或不穿出。

总结结论：

	向上移动	向下移动
仅移动上板	恰好不穿出	恰好不穿出
仅移动下板	不穿出	穿出

模型二：不连接电源。

此时即为一个电容器，我们根据电容器的知识：

\[ E=\dfrac{4\pi kQ}{\varepsilon_r S} \]

即电场场强是不变的，根据 \(ma=F=Eq\) 不变，加速度也是不变的。

列出功动能定理：

\[ \begin{aligned} mg(d+d)+W_{电}&=0-0\\ mg2d-Fx=0 \end{aligned} \]

若向上移动上板：重力做功不变，\(x\) 增大，在 \(Q\) 点时动能小于零，这是不合理的，即无法到达 \(Q\) 点或不穿出。
若向下移动上板：重力做功不变，\(x\) 减小，在 \(Q\) 点时动能大于零，因此会穿出。
若移动下板：我们进行动态的分析，因为加速度不变，而刚进入电场时的速度也是不变的，因此如果向下移动下板，则质点会同样恰好到达 \(Q\) 点，不穿出电场；如果向上移动下板，则质点会穿出电场，之后因为仅受重力的作用，而无法停在 \(Q\) 点，即穿出电场。

总结结论：

	向上移动	向下移动
仅移动上板	不穿出	穿出
仅移动下板	穿出	不穿出

交变电场问题¶

如图：

本质是多个加速电场的合并。

\[ a=\dfrac{F}{m}=\dfrac{Eq}{m}=\dfrac{Uq}{dm}\propto U \]

因此，我们可以根据电压的关系，画出 \(a-t\) 图像，进而将其作为斜率画出 \(v-t\) 图像，然后根据闭合图像面积对 \(s-t\) 做出一定判断。

注意，在交变电场中，带电质点释放的时间是非常重要的，不同时间释放可能会影响运动情况。我们可以通过移动坐标轴到由静止释放释放的点，来实现简单的 \(v-t\) 图像变换。

偏转电场模型¶

偏转电场¶

偏转电场基本思路：

根据牛顿第二定律，求得加速度 \(a\)。
解运动学方程，联系电场强度和位移。
根据电场强度和位移，联立求电势。

基础偏转电场如图：

基本思想是：

根据电场知识，求出 \(a=\dfrac{qU}{md}\)²。
根据通过时间为 \(t=L/v_0\)，列出两个方向的运动学方程求解。
如果给了场强，就用 \(a=\dfrac{Eq}{m}\)。

偏转电场列动能定理：

\[ Uq=\dfrac12mv_t^2-\dfrac12mv_0^2 \]

此时注意 \(U\) 为通过偏转电场位移在电场线上的投影。

一般不常在偏转电场中使用功动能定理，因为偏转电场与加速电场的通过整段电场不同，通常是通过一部分，需要通过正比例计算通过的电势差。

偏转电场多段运动：从偏转电场出去之后，为匀速直线运动或抛体运动，根据结论速度切线的反向延长线过水平位移中点，可以列出相似方程。

更加 trivial 的方式是，求出每一个运动段末状态的坐标和瞬时速度的水平和竖直分量，暴力计算即可。

给定速度或位移角度：列出角度的正弦余弦正切的比值，带入计算即可。

加速电场撞板问题：容易想到可行的方法只有，忽略板子限制，求出经过整个板后的竖直位移，与高度比较；求出恰好撞到板子上的水平位移，与板长比较。一般来说，我们按照前者计算会比较方便。

询问一排发射，问飞出去的百分比，即找到从下往上的上面算出的距离，在外面的就能飞出去，否则会撞板子。

加速与偏转电场¶

如图：

根据加速电场相关知识，电子进入偏转电场时的速度为：

\[ v_0=\sqrt{\dfrac{2U_0q}{m}} \]

根据偏转电场相关知识，电子离开偏转电场时偏转的距离为：

\[ x=\dfrac12at^2=\dfrac{qU\cdot L^2\cdot m}{2\cdot md\cdot 2U_0q}=\dfrac{UL^2}{4U_0d} \]

与荷质比无关，而电子在偏转电场中的运动时间：

\[ t=\dfrac{L}{v_0}=\sqrt{\dfrac{L^2m}{2U_0q}} \]

与荷质比有关。

阴极射线管¶

电子枪是一种使用于部分真空管中、能发射具有精确动能的平行电子束的电子元件。

阴极射线管（又称显像管、布劳恩管）是一种用于显示系统的物理仪器，曾广泛应用于示波器和显示器上。

它是利用阴极电子枪发射电子，在阳极高压的作用下，射向荧光屏，使荧光粉发光，同时电子束在偏转磁场的作用下，作上下左右的移动来达到扫描的目的。

磁场偏向型：以磁场令电子束产生偏向，产生磁场的偏向线圈附加在阴极射线管颈部外侧。显示器使用此种方式的显像管。

电场偏向型：以电场令电子束产生偏向，产生电场的偏向极板内置在阴极射线管内部。示波器使用此种方式的显像管，以利应付不同的扫描频率，但此方式需要较长的管身，主要用于电子仪器。

曲线积分：对于标量函数，曲线积分的值是积分路径各点上的函数值乘上该点切向量的长度；对于向量函数，曲线积分的值是积分向量函数与曲线切向量的内积。 ↩
记忆方法：已和谐。 ↩

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