电场电势¶

电场概念¶

场¶

在物理里，空间中弥漫着的基本相互作用被命名为场。场被认为是延伸至整个空间的，但实际上，每一个已知的场在够远的距离下，都会缩减至无法量测的程度。

例如，在牛顿万有引力定律里，重力场的强度是和距离平方成反比的，因此地球的引力场会随着距离很快地变得不可测得（在宇宙的尺度之下）。

哲学上来讲：场占有空间，含有能量、动量，它形成了一个空间的状态。场的存在排除了真正的真空：真空中没有物质，但并不是没有场的。

Note

当一个电荷移动时，另一个电荷并不会立刻感应到。第一个电荷会感应到一个反作用力，并获得动量，但第二个电荷则没有感应，直到第一个电荷移动的影响以光速传递到第二个电荷那里，并给予其动量之后。场的存在解决了关于第二个电荷移动前，动量存在在哪里的问题。因为依据动量守恒定律，动量必存在于某处。物理学家认为动量应该存在于场之中。如此的认定让物理学家们相信电磁场是真实的存在，使得场的概念成为整个现代物理的范式。

作用力所做的功跟移动路径无关的力称为保守力（例如重力）。

类似保守力，也有保守场的定义：曲线积分¹的值与路径无关的场为保守向量场。

另外的定义有如，如果力的矢量场是保守的，则这个力称为保守力。

场线¶

PS：右图为矢量叠加的电场线。

在空间里，矢量场在每一个位置，都设定了一个方向，因此场线不能相交，并且场线在每一个位置的切线平行于矢量场在那一个位置的方向。

常见的场线有磁场线：在磁铁的四周洒散铁粉，可以清楚地显示出磁场的磁场线。

大多数时候，场线只是一个数学建构，少数情况场线有实际的物理意义。

电场¶

电场是存在于电荷周围，能传递电荷与电荷之间相互作用的物理场。

电场是保守场，电势能只跟初始位置与终止位置有关，与路径无关。

在电荷周围总有电场存在；同时电场对场中其他电荷发生力的作用（电场力）。

根据试探电荷是否受力可以知道是否存在电场。

电场线¶

概括起来讲，如果在任何电场中作出许多曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点场强方向一致，那么所有这些曲线就是电场线。

电场线用于描述电场，是不存在的，有场的方向（用箭头表示）和大小（用疏密表示）两个要素。场的方向与试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力的方向相同，与该点电场强度 \(E\) 方向相同。

电场线有以下特点：

电场线从正电荷或无限远出发，终止于负电荷或无限远。

从正电荷往外扩散朝着负电荷聚集
根据矢量的性质，电场线可以直接矢量叠加，叠加与磁感线的叠加类似。
电场线在电场中不相交，因为在电场中任意一点，场强的方向只有一个，不可能存在两个方向。
场强较大的地方电场线较密，场强较小的地方电场线较疏，因此可以用电场线的疏密来表示场强的大小。

根据场线的性质，一个位置的电场方向总是沿着这个位置的电场线的切线方向。

对于左图：

两点电荷连线：电场强度先减小后增大。
两点电荷连线的垂直平分线：从内到外逐渐减小。

对于中图：

两点电荷连线：电场强度先减小后增大。
两点电荷连线的垂直平分线：从内到外先增大再减小。

对于右图，我们在匀强电场详细解释。

电场强度¶

电场强度是用来表示电场的强弱和方向的物理量，常用 \(E\) 表示。

电场中某一点的电场强度的方向与试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力的方向相同。

电场强弱可由试探电荷所受的电场力与试探点电荷带电量的比值确定，即矢量比值定义，由于电场力满足矢量叠加原理，电场强度也满足叠加原理。

定义式为：

\[ \bm E=\dfrac{\bm F}q \]

国际单位为伏特每米 \(\mathrm{V/m}\) 或牛顿每库仑 \(\mathrm{N/C}\)（这两个单位实际上相等），常用单位有伏特每厘米 \(\mathrm{V/cm}\)。

常见误区：

在电场中某一点，试探点电荷（正电荷）在该点所受电场力与其所带电荷的比值是一个与试探点电荷无关的量。
只要有电荷存在就有静电场存在，电场的存在与否是客观的，与是否引入试探点与电荷无关，引入试探点电荷只是为了检验电场的存在和讨论电场的性质而已。正像人们使用天平可以称量出物体的质量，如果不用天平去称量物体，物体的质量仍然是客观存在的一样。

试探点电荷应该满足两个条件：

它的线度必须小到可以被看作点电荷，以便确定场中每点的性质；
它的电量要足够小，使得由于它的置入不引起原有电场的重新分布。

点电荷电场强度，我们带入将库仑力公式带入电场强度定义式，得到：

$$
E=k\dfrac{Q}{r^2}
$$

其中 \(Q\) 表示的是场源电荷。

高斯定理¶

电通量：穿过电场 \(E\) 中某一截面 \(\Delta S\) 的电通量 \(\Delta\varphi_e\) 被定义为：

\[ \Delta\varphi_e=\bm E\cdot\Delta\bm S=E\Delta S\cos\theta \]

式中 \(\theta\) 为截面 \(\Delta S\) 的法线与电场线间的夹角，它实际上可理解为穿过 \(\Delta S\) 的电场线的条数。

\[ \varphi_e=\sum_{\Delta S}E_i\Delta S_i\cos\theta \]

当电场线穿过一个有限大小曲面 \(S\) 时，其电通量等于其上无限多个小面元上的电通量的代数和：其中 \(E\) 为闭合面 \(S\) 上每一个面元 \(\Delta S\) 处的电场强度，这个 \(E\) 是由所有形成静电场的电荷（包括 \(S\) 面内外的电荷）在该面元 \(\Delta S\) 处激发产生的电场强度。而等号右边的电荷代数和，仅指 \(S\) 面内的电荷。

高斯定理：静电场中穿过任意闭合曲面（称为高斯面，例如一个球壳）\(S\) 的电通量可表示为：

\[ \varphi_e=4\pi k\sum q=\dfrac{Q}{\varepsilon_0} \]

式中 \(k\) 是静电力常量，\(Q=\sum q\) 为闭合曲面内全部电荷的代数和。

高斯定理在求解具有对称性的电场的场强时，有很强的功能为便于计算，高斯面经常取和电场线垂直或平行的面。

以球壳为例（详见下面几何电场叠加）

设有半径为 \(R\) 的均匀带电球壳 \(A\)，带电量为 \(Q\)，研究 \(A\) 球壳内部的电场强度，可以建立一个半径为 \(r(r<R)\) 的 \(B\) 球壳作为高斯面（\(B\) 球壳和 \(A\) 球壳同心）。因为 \(B\) 球壳内部的净电荷为零，又因为 \(A\)、\(B\) 两个球壳高度对称，\(B\) 球壳处如果有电场线一定是垂直于 \(B\) 球壳的，所以 \(A\) 球壳内部的所有地方电场强度都为零。即

\[ E\cdot 4\pi r^2 = 4\pi k \sum q_i = 0,\quad E=0 \]

研究 \(A\) 球壳外部的电场强度，可以建立一个半径为 \(r(r>R)\) 的 \(B\) 球壳作为高斯面（\(B\) 球壳和 \(A\) 球壳同心）。因为 \(B\) 球壳内部的净电荷为 \(Q\)，而且 \(A\)、\(B\) 两个球壳高度对称，\(B\) 球壳处的电场线处处垂直于 \(B\) 球壳，所以有：

\[ E\cdot 4\pi r^2 = 4\pi k \sum q_i = 4\pi k Q,\quad E=\frac{kQ}{r^2} \]

电势概念¶

电势能¶

引入

我们知道，重力做功会消耗重力势能，即：

\[ W_G=-\Delta E_{pG} \]

类似的，电场力做功会消耗电势能，即：

\[ W_{电}=-\Delta E_{p电} \]

在匀强电场中：

\[ W_{电}=\bm F_{电}\cdot\bm x=F_{电}x\cos\theta=EqH \]

这是很类似重力势能 \(W_G=mgH\) 的。

在静电学里，电势能是处于电场的电荷分布所具有的势能，与电荷分布在系统内部的组态有关，单位为焦耳。

电势的数值不具有绝对意义，只具有相对意义，因此为了便于分析问题，必须设定一个参考位置，并把它设为零，称为零势能点。

当物理系统内的每一个点电荷相距无穷远且其相对静止不动时，这一物理系统通常可以设定为电势能等于零的参考系统。

单点电荷系统

只拥有单独一个点电荷的物理系统，其电势能为零，因为没有任何其它可以产生电场的源电荷，所以，将点电荷从无穷远移动至其最终位置，外机制不需要对它做任何机械功。

特别注意，这点电荷有可能会与自己生成的电场发生作用。然而，由于在点电荷的位置，它自己生成的电场为无穷大，所以，在计算系统的有限总电势能之时，一般刻意不将这自身能纳入考量范围之内，以简化物理模型，方便计算。

电势¶

在静电学里，电势（又称电位）是描述电场中某一点能量高低的物理量。

电场中某处的电势等于处于电场中该位置的单位电荷所具有的电势能，单位为伏特：

\[ \varphi=\dfrac{E_{p电}}{q} \]

一个直观的定义为：检验电荷从零势能点，经过任意路径，克服电场力，以缓慢、没有产生加速度的方式移动到某位置，则在这位置的电势等于因移动检验电荷所做的功与检验电荷的电荷量的比值。

如果电场是由多个点电荷产生的，则电场中各点的场强是各单个点电荷产生的场强的矢量叠加，电场力对试探电荷所做的功是合力功。由于合力功等于分力功的代数和，所以，多个点电荷的电场中某点的电势等于各点电荷单独存在时该点电势的代数和，即：

\[ U = U_1 + U_2 + \dots + U_n \]

电势的数值不具有绝对意义，只具有相对意义，因此为了便于分析问题，必须设定一个参考位置，并把它设为零，称为零势能点或零势能面。

电势差¶

电势差：用字母 \(U\) 表示，单位为伏特 \(\text V\)，有表达式

\[ U_{ab}=\varphi_a-\varphi_b \]

等势面：所有电势相等的面构成的面称为等势面：

电场线和等势面总是垂直的。
沿着等势面移动的电荷电场力不做功（解释：运动方向等势面与受力方向电场线垂直）。
等差等势面越密集，电场强度越大（解释：类比地理等高线）。

电场的规律¶

点电荷电势¶

如以离场源电荷无穷远处（即 \(r_b\to\infty\)）电荷的电势能为零，则电荷 \(q\) 在离场源电荷 \(r(r_a=r)\) 处的电势能就是：

\[ E_p=k_e\dfrac{Qq}{r} \]

值得注意的是，点电荷电场中试探电荷的电势能公式和力学中引力势能公式差一个负号，这是因为在这里推导过程是按场源电荷和试探电荷都是正电荷的情况进行的，试探电荷受的是斥力。正试探电荷离场源电荷越远，电场力做的正功越多，它的电势能越小，直到无穷远处，电势能减小为零。

如果试探电荷是负电荷，它在正场源电荷的电场中受到的力是引力，这就和万有引力相似了。负试探电荷离正场源电荷越远，电场力做的负功越多，它的电势能越大，到无穷远处电势能增大为零，而在有限距离处它的电势能都是负值。

根据电势的定义，很容易得出：当以无穷远处电势为零时，点电荷电场中离场源电荷为 \(r\) 处的各点的电势为：

\[ U=\dfrac{E_p}{q}=k_e\dfrac{Q}{r} \]

可见，点电荷电场中某点的电势与场源电荷的电量 \(Q\) 成正比，与该点到场源电荷的距离 \(r\) 成反比。

电势是标量，当规定无穷远处电势为零时，正点电荷电场中各点的电势都大于零，负点电荷电场中各点的电势都小于零。

电势的规律¶

电势沿着电场线逐渐降低：

假设有正电荷 \(q\)，沿着电场线移动，则 \(W=Fx=Eqx\) 为正功，电势能 \(E_p=\varphi q\) 减小，因为 \(q\) 是正数，所以 \(\varphi\) 减小。
假设有负电荷 \(q\)，沿着电场线移动，则 \(W=Fx=Eqx\) 为负功，电势能 \(E_p=\varphi q\) 增大，因为 \(q\) 是负数，所以 \(\varphi\) 减小。

点电荷和电势：

设无穷远处电势为零，因为正电荷周围电场线向外，因此正电荷向外电势逐渐降低到零，且正电荷周围电势为正。
设无穷远处电势为零，因为负电荷周围电场线向内，因此负电荷向外电势逐渐增加到零，且负电荷周围电势为负。

电场同一位置，电势相同，带不同电荷量的物体电势能不同。

电势的比较¶

电势只与该点到正负点电荷的距离有关：

距离正电荷越近，电势越大；距离负电荷越近，电势越小；距离正电荷和负电荷距离相等的点（连线垂直平分线上的点）电势均等于零。
沿着电场线，电势逐渐降低。

比较电势能就是比较电势，因为 \(E_p=\varphi q\)，其中 \(q\) 为定值。

回忆：比较电场强度直接放试探点电荷，注意电场强度是矢量，要比较方向。

图像问题¶

做题方法：在 \(x\) 轴上画出电场线

\(E-x\) 图像：注意到 \(E\) 的正负就表示电场线方向，因此只需要找曲线零点分段即可。
\(\varphi-x\) 图像：注意到 \(\varphi\) 递增的方向就是电场线的方向，因此只需要分段找单调区间即可。

特殊性质：在 \(\varphi-x\) 图像中，一点的曲线斜率大小即为该点的场强大小。

证明：根据 \(\varphi_A-\varphi_B=U_{AB}=Ed\) 显然。

电场的描述¶

电偶极子¶

真空中一对相距为 \(l\)，带等量异号电荷的点电荷系统 \((-q,+q)\)，且 \(l\) 远小于讨论中所涉及的距离，这样的电荷体系称为电偶极子，连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线。

将电偶极子中电荷的电量 \(q\) 与两点电荷间距 \(l\) 的乘积定义为电偶极矩，即：

\[ \bm p=q\bm l \]

电偶极矩是矢量，方向与 \(l\) 的方向一致，由 \(-q\) 指向 \(+q\)。

微元电场叠加¶

根据力的合成原理，如果空间内一点受到不止一个电荷的影响，则他们所形成的电场可以叠加，因为电场是一个矢量，所以需要用矢量叠加原理来叠加。

通常去一个 \(\Delta l\)，然后当成点电荷用库仑定律处理。

几何电场叠加¶

特殊几何形态：

圆环：有且仅有圆心场强为零，从圆心穿出场强先增大后减小。
圆球、球壳：可以看为球心的一个点电荷。

注意到带电球壳、球体类似于天体，同样的：

均匀带电球壳内、外的电场强度：

\[ E=\begin{cases} 0&r<R\\ \dfrac{kQ}{r^2}&r\ge R \end{cases} \]
均匀带电球体内、外的电场强度：

\[ E=\begin{cases} \dfrac{kQ}{R^3}r&r<R\\ \dfrac{kQ}{r^2}&r\ge R \end{cases} \]

特殊电场叠加¶

点电荷和接地金属板：

特殊非点电荷电场：

先分析容易分析的点的场强，然后根据对称性得到圆盘对侧的场强。
对于半个球壳一类不规则的，根据空间的对称性得出另一半球壳的理论场强，然后对称计算。

多点电荷电场：

根据 \(\bm E_{总}=\bm0=\bm E_1+\bm E_{n-1}\)，得出 \(\bm E_1=-\bm E_{n-1}\)。
将多个点中单个点拆除，如果有特殊点则将特殊点先化为正常点，然后考虑特殊点的贡献。

等效重力场¶

注意到匀强电场中一个带电物体受到的电场力是恒力，其重力也是如此。

我们将这个电场力和重力合并为等效重力，类似于将空间旋转，当成仅受重力或电场力来分析。

这个可以理解为重力场和电场的合成，即为等效重力场。

如图，如果从 \(A\) 点静止释放，在 \(B\) 点恰好速度为零，则 \(C\) 点一定是动能最高的点，\(OC\) 方向即为等效重力场方向；根据对称性，\(OC\) 一定是角平分线。

曲线积分：对于标量函数，曲线积分的值是积分路径各点上的函数值乘上该点切向量的长度；对于向量函数，曲线积分的值是积分向量函数与曲线切向量的内积。 ↩

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