磁场概述¶

磁场¶

磁现象¶

如果将一条形磁铁投入铁屑中，再取出时可以发现，靠近两端的地方吸引的铁屑特别多，即磁性特别强，我们称之为磁极。

如果将条形磁铁或狭长磁针的中心悬挂或支撑起来，使其能在水平面内自由转动，则两磁极总是分别指向南北方向。我们称指北的一端为北极，又叫 \(N\) 极；指南的一端为南极，又叫 \(S\) 极。如果用另一磁铁去接近它们，则会发现同号的磁极互相排斥，异号的磁极互相吸引。

基于上述现象，16 世纪末，英王御医威廉·吉尔伯特指出，指南针之所以指向南北，是因为地球是一个巨大的磁体，它的地理上的北极和南极就是它的磁南极和磁北极。

现在我们更进一步地知道，地球的地理两极与地磁两极并不重合，因此磁针并非准确地指南或指北，其间有一个交角，这就是地磁偏角，简称磁偏角。磁偏角的数值因地区不同而异。不仅地球是一个巨大的磁体，宇宙中的许多天体都具有磁性。太阳表面的黑子、耀斑和太阳风等的出现都与太阳的磁性及其变化有关。

概括起来说，不仅磁铁—磁铁，而且电流—磁铁、磁铁—电流（运动电荷）、电流—电流之间都存在着相互作用，我们把它们统称为磁相互作用或磁力。

19 世纪杰出的法国科学家安培提出了一个假说：组成磁铁的最小单元（磁分子）就是环形电流。倘若这样一些分子环流定向地排列起来，在宏观上就会显示出 \(N\)、\(S\) 极，这就是安培分子环流假说。

原子是由带正电的原子核和绕核旋转的负电子组成的。电子不仅绕核旋转，而且还有自旋。原子、分子等微观粒子内电子的这些运动形成了“分子环流”，这便是物质磁性的基本来源。据此，物质是否具有磁性以及磁性的强弱，取决于其中分子环流排列的整齐程度，越混乱磁性越弱或无磁性，越整齐磁性越强。所谓磁化，就是使其中的分子环流排列整齐。与此同时，它还自然地说明了为什么磁棒与载流螺线管会具有等效性，磁铁两极总是并存，分割后依然如此。

物质的磁性¶

根据实验结果，就磁性而言，物质可分为三类：

• 顺磁质，这类物质在外磁场中能够被磁化，使磁场增强，但它们本身的磁性很弱，而且在外磁场撤去以后，它们的磁性就消失了。金属中的锂、钠、钾、钙、铝、铬、锰，非金属中的氧，化合物中的氧化铜、氧化钠、硫酸镁、氧化钴等都属于这一类。

• 抗磁质，这类物质在外磁场中也会被磁化，但其磁场方向与外磁场相反，使磁场减弱。它们的磁性也很弱，且在外磁场撤去后消失。金属中的汞、铜、锌、铋、铅、锡、金、银，非金属中的硫、碳、磷、氮、氢，化合物中的水、二氧化碳、氯化银、硫酸、有机材料如丙酮、苯、环乙烷等属于这一类。

• 铁磁质，这类物质在外磁场中显出很强的磁性，使磁场大大增强。金属中的铁、镍、钴、钕、铽、钆，铁和其他金属或非金属的合金，以及铁的氧化物如铁氧体等都属于这一类。

铁磁质又可分为两种：

• 一种在外磁场中很容易被磁化，但外磁场撤消后，其磁性很快消失。这种铁磁质叫软磁材料，常见的有软铁、硅钢、坡莫合金（镍铁合金）等。电子设备中的各种电感元件、变压器、电动机、发电机的铁芯等，都要用软磁材料。

• 另一种是在使它磁化的外磁场撤消后，仍能长时期保留较强的磁性。这种铁磁质叫硬磁材料，常用的金属硬磁材料有碳钢、钨钢、铝镍钴合金、铝铁钴合金等。硬磁材料适用于制作永磁铁，应用于磁电式仪表、扬声器、话筒、耳机、录音机、核磁铁、永磁电机等设备中。

磁场的描述¶

电荷之间的相互作用力是通过电场来传递的，即每当电荷出现时，就在它周围的空间产生一个电场，而电场的基本性质是它对于任何置于其中的其他电荷施加作用力。这就是说，电的作用是近距的。

磁极和电流之间的相互作用也是这样，不过它通过另外一种场——磁场来传递。磁极或电流在自己周围的空间里产生一个磁场，而磁场的基本性质是它对于任何置于其中的其他磁铁或电流施加作用力。由此，我们可以把前述关于磁铁—磁铁、磁铁—电流、电流—电流之间的相互作用统一起来，即所有这些相互作用都是通过同一种场——磁场来传递的。

鉴于无论是导线中的电流还是磁铁，它们的本源都是电荷的运动，所以上述各种磁现象都可归结为运动着的电荷（即电流）之间的相互作用。应该注意的是，电荷之间的磁相互作用与电相互作用是有区别的。特别是，无论电荷静止还是运动，它们之间都存在电相互作用，但是只有运动着的电荷之间才存在磁相互作用。

磁场：磁场与电场类似，是物质存在的基本形式之一。它存在于永磁体的外部与内部、运动电荷及电流的周围空间。磁场不同于一般由原子、分子构成的物质。磁场具有力的性质，磁体间、运动电荷或电流间的相互作用是通过磁场和电场传递的。磁场还具有能的性质，这些说的便是磁场的物质性。

磁感应强度¶

实验表明，对于给定的磁场中任一个位置 \(P\)，当运动电荷的速度与磁场方向平行时，电荷不受力。当速度与磁场方向垂直时，电荷受力最大，且其值 \(F_m\) 与其速度 \(v\) 成正比，与其带电量 \(q\) 成正比。综合起来，我们有：

就是说，磁场中某点的磁感应强度的大小等于电荷以垂直于磁场方向的速度通过该点时，所受磁场力与它的电荷量和速度的乘积的比值。其方向则为小磁针 \(N\) 极在该点所指的方向。我们会在洛伦兹力部分详细说明。

在国际单位制中，磁感应强度的单位是特斯拉，简称特，符号是 \(T\)。

一般永磁铁磁极附近的磁感应强度约为 \(10^{-1}\text{T} \sim 10^{-3}\text{T}\)，地面附近地磁场的磁感应强度大约只有 \(0.5 \times 10^{-4}\text{T}\)。在技术上常用的磁感应强度的单位叫高斯，\(1\text{T} = 10^4\) 高斯。

我们将在电磁感应中学到：

这表示磁感应强度等于穿过单位面积的磁通量。因此人们也常把磁感应强度叫做磁通密度。它也就与垂直穿过 \(S\) 的单位面积上的磁感线的条数成正比。

磁场线：为了形象地描述磁场，人们像用电场线描述电场一样，用磁场线来描述磁场。用磁感线的疏密程度来描述磁场的强弱，用磁感线上各点的切线方向表示相应点的磁场强度的方向（即磁场方向）。与电场线不同的是，电场线一般从正电荷出发，到负电荷终止，而磁感线是一条既无起点也无终点的闭合曲线。另外，磁感线与电场线一样，任何两条磁感线是不会相交的。

匀强磁场：匀强磁场是指内部磁感强度的大小和方向处处相同的磁场，它的磁感线是一系列疏密间隔相同的平行直线。匀强磁场是一个常用物理概念，是一个理想化概念，完全均匀的磁场是不存在的。但通常情况下，通电螺线管内部的磁场、较大的正对磁极间的磁场都可视为匀强磁场。

磁场的叠加原理：磁场与电场一样满足叠加原理。若多个运动电荷或通电导线在一个区域产生磁场，则可用总磁场来代替这些磁场。总磁场的磁感强度等于各个运动电荷或电流产生的磁感强度的矢量和。这个结论称为磁场的叠加原理。

特殊的磁场¶

在一根很长的载流直导线附近的某点的磁感应强度 \(B\) 的大小与电流 \(I\) 成正比，与该点到导线的垂直距离 \(r\) 成反比，即：

式中 \(k_m = 2 \times 10^{-7}\,\text{N/A}^2\)，称为毕奥—萨伐尔定律。

载流螺线管的磁感应强度的大小决定于电流 \(I\) 和螺线管的匝数 \(n\)。当密绕螺线管的长度比其半径大得多时，可以证明，管内匀强磁场的磁感应强度 \(B\) 的大小为

磁感应强度 \(B\) 的大小和方向处处相同的磁场为匀强磁场。匀强磁场里的磁感线是相互平行的直线。常见的匀强磁场有平面磁极间隙中的磁场和密绕长螺线管中的磁场。

平面磁极间隙中的磁场，它有点像平行板电容器里的电场，除了边缘附近有所发散外，中间区域里是相当均匀的。

螺线管产生的磁感线在远离端点且靠近轴线的地方是平行直线。在纵向，靠近螺线管两端的地方磁感线有所发散；在横向，靠近螺线管管壁（即导线绕组）的地方磁感线有些波纹。要使中间磁场均匀的程度增大，一是要螺线管尽量长，二是要绕组尽量细密。所以，产生均匀磁场的理想模型是无限长密绕螺线管。

安培环路定律¶

我们把磁感强度沿着某一条线段的分量乘以这段线段的长度，叫做这条线段的磁流。如果是一个闭合的回路，那么回路上所有线段的磁流加起来，叫做这个闭合回路磁感强度的环流。

安培环路定律指出，任何一个包围长直载流导线的闭合回路，一根电流为 \(I\) 的长直导线垂直于回路所在平面，则该回路的环流是 \(\mu_0I\)。推而广之，如果有多根电流通过闭合回路，那么考虑电流就是所有电流的代数和，环路所包围电流的正负应服从右手定则。

我们常常联立，可以用于求 \(B\)。

电磁三定则¶

定则概述¶

这些东西挺乱的，百科很多都矛盾。问题主要集中在是手掌还是手指上面，弗莱明右手定则是手指的。现在国内很多教的右手定则（开掌）是弗莱明右手定则的变形，也就是叉乘的右手定则。

区分和记忆：

• 左手判断受力，右手判断电流。
• 「中指，食指，拇指」指代「电，磁，力」。

安培定则¶

电动机定则¶

电动机定则，又称左手定则，是判断磁场中通电导体的安培力、带电微粒的洛伦兹力的方向的。

发电机定则¶

磁场力¶

洛伦兹力¶

磁场对运动电荷的作用力称为洛伦兹力：

设电荷 \(q\) 的速度 \(v\) 与磁感应强度 \(B\) 之间的夹角为 \(\theta\)。我们可以把 \(B\) 分解为垂直于速度方向和沿速度方向的两个分量 \(B_\perp\) 和 \(B_{//}\)。

根据上述，方向与 \(v\) 相同的分量 \(B_{//}\) 对运动电荷 \(q\) 不产生磁场力，电荷 \(q\) 所受的磁场力只是另一分量 \(B_\perp\) 所给予的。因此，运动电荷 \(q\) 所受的磁场力为：

需要注意的是，\(B,F,v\) 三者均属于矢量，其方向并不是简单确定的，而是通过左手定则。

因为洛伦兹力始终垂直于速度，因此洛伦兹力永远不做功，但是因为力的作用，所以受力分析和动力学分析会有所不同。

安培力¶

我们知道，电流是电荷的定向移动，当载流导线在磁场中时，磁场对导线中运动的电荷就产生作用力，这些运动电荷所受的磁场力的合力就表现为载流导线在磁场中的受力，称为洛伦兹力。

我们知道，金属导线中的载流子是电子，我们列出一个电子运动中受到的洛伦兹力：

那么，在体积为 \(V=SL\) 的导线中，假设电子密度为 \(n\)，那么：

根据叉乘的性质，\(F\) 一定是垂直于 \(B,I\) 的，可以用左手定则来判断。

根据力的作用是相互的，如果磁铁给导线一个向左的力，那么导线一定会给磁铁一个向右的力。

• 小磁针 N 极指向磁感线方向。

• 等效磁铁：将环形电线等效为条形磁铁。

载流导线¶

载流导线间：

• 电流和电流之间的相互作用，同种方向相互吸引。

• 分别对导线画出对方对其的作用力，电流不同，作用力相同。

也就是说，在 \(L\gg d\) 时，单位长度导线受力为：

在国际单位制中，电流的单位安培就是根据这个定义的。

等效长度：

• 如果几根导线并联在电压源上，如果这几根导线是直线：

  \[ F=ILB=\dfrac{U}{R}LB=\dfrac{1}{\rho}BS \]

• 如果一条导线不是直线，其在磁场中受力仅和它的起点终点有关，处理 \(L,I\) 只需要用起点到终点的线段即可。

• 注意，等效长度仅仅是分析所受的合力，而分力有可能造成导线的旋转（详见直流电动机，载流矩形线圈）。

霍尔效应¶

将通有电流的宽导电板（导体或半导体）置于于电流方向垂直的磁场中时，在垂直于电流和磁场方向的 \(A,A'\) 两侧会产生一个电势差，这种现象称为霍尔效应。

在磁场不太强的情况下，满足：

我们试着进行一定推导：

而：

那么：

其中 \(S\) 为导体横截面积，\(v\) 为载流子的平均定向速率。

我们发现，电势差的大小和方向，可以反应载流子的电荷大小和正负，因此可以用于判断半导体的性质，另外霍尔效应还可以用于测量磁感应强度和电流。

粒子运动¶

粒子简单运动¶

比较简单的是，在一个直线上，带点微粒在磁场力的作用下运动。此时有一个作用使带电物体固定在直线上，例如一个小孔，也就意味着，除非运动方向改变，洛伦兹力的方向是不会改变的，此时应当分情况讨论洛伦兹力，通常根据与重力、摩擦力的大小关系，分别讨论。注意有的时候不仅需要分析速度的趋势，还需要分析加速度的趋势（速度曲线的变化过程）

对于一些只在一个方向上自由的运动，一定要注意合运动，根据一个确定方向上的确定速度分析得到的洛伦兹力有可能只是洛伦兹力的一个分力，一个简单的判断方法是，洛伦兹力一定与速度垂直，一定不做功，如果违反了这些，那么说明分析有误。

对于在两个方向上自由的运动，最常见的就是磁场圆周问题，我们下面详解。

粒子圆周运动¶

如果带电粒子在磁场中仅受到洛伦兹力的作用，其运动轨迹一定是圆周运动，因为洛伦兹力一定垂直于速度，因此，洛伦兹力提供向心力：

我们也可以得出转 \(\theta\) 角的时间：

简记为，Incubator 统治一切。

入射出射问题¶

如果带点粒子通过某一直线进入均匀磁场，且一直在磁场内运动，那么这个粒子再一次穿过这个直线时，入射角等于出射角。

注意，入射角指的是粒子往哪边偏，就是速度与这一边的夹角，入射角取值范围为 \(0\sim\pi\)；这条直线指的是入射点与出射点的连线，并不一定是磁场的边界线。特殊的，对于圆形磁场，如果径向射入，一定径向射出；延长入射速度，经过圆心；反向延长出射速度，经过圆心。

具体的，将入射角关于磁场边界对称，将得到的箭头在直线上平移到出射为止，即为出射角、出射速度。注意出射的时候有可能到顺着入射方向的一侧，也有可能在另一侧，但是速度方向一定是固定的，即关于直线对称。

理解方式：假设均匀磁场无边界，则带电粒子一定做圆周运动，从入射点看，圆心到入射点的连线一定垂直于入射速度，因为入射点也在圆周内，轨迹一定垂直于速度。

所以速度偏转角为 \(2\theta\) 或 \(2\pi-2\theta\)。对于通用的情景，我们有速度偏转角等于圆心角，从而可以不找圆，直接根据 \(t=\theta m/(qB)\) 求出运动时间，也就是说，只要带电粒子经过了完整的一段均匀磁场，且偏转角一样，其运动时间就与速度无关。

而对于找圆心，我们知道入射和出射速度，而且他们一定是圆的切线，因此我们在入射点和出射点分别做入射速度和出射速度的垂线，其交点即为圆心，从圆心到入射点或出射点的距离即为圆的半径，根据公式算数即可。

时间最值问题：根据公式 \(t=\theta m/(qB)\)，一定是偏转角越大，时间越长，而偏转角可以直接通过几何法看出来。通常来说，在放缩圆中，回到原边，即 \(t_m=2\theta m/(qB)\) 即为时间最长；旋转圆中，最长时间一般发生在沿边界射入的情况，入射角为 \(\pi\)。

经典的几何关系：半径一样，圆心角 \(<\pi\)，弦长越大、圆心角越大；圆心角 \(>\pi\)，弦长越小、圆心角越小。

特别的，如果入射方向未知，但入射速度大小已知，那么在偏转的反方向为一个极端情况，入射角为 \(\pi\)；相反的，反方向上是一个 \(R'=2R\) 的圆，因为我们将这个半径为 \(R\) 的圆进行旋转，我们观察入射点所在的直径的另一个端点，就是在进行一个 \(2R\) 的圆的旋转，如图所示：

在这种情境下，粒子最远能到达的距离为 \(2R\)，最小运行时间为 \(0\)（入射角为 \(0\) 射入即射出）。

磁场应用¶

粒子选择器¶

装置如图所示：

带电粒子会受到电场力和洛伦兹力，当且仅当他们相等，才会顺利通过速度选择器，穿过小孔，也就是说：

如果该带电粒子是通过一个 \(U=E'd\) 的加速电场进入的，我们列出：

只有该荷质比的带电粒子才能通过这个混合装置。

磁聚焦效应¶

我们知道，当且仅当粒子进入磁场时的初速度垂直于磁感应强度，才会出现其进行简单的圆周运动，其中最简单的一种就是我们前面表示的，在图中，磁感应强度通过点（垂直纸面向外）、叉（垂直纸面向内）来表示，而粒子的速度始终在图示平面内，才会发生上面的现象。

我们将 \(\bm v\) 分解为平行和垂直于 \(\bm B\) 的分量 \(v_{\parallel},v_{\perp}\)。其中，\(v_{\perp}\) 提供圆周运动分量、\(v_{\parallel}\) 提供一个方向上的直线运动，带电粒子在磁场中做螺旋运动。

容易知道，其螺距 \(h\) 为：

我们从一点发出一束很窄的同种带电粒子流，其速率 \(v\) 大小相近，且 \(\bm v\) 与 \(\bm B\) 的夹角很小。因为 \(h\) 与 \(v_{\perp}\) 无关，则各粒子将沿着不同半径的螺旋线前进。但由于他们的 \(v_{\parallel}\) 相近，他们最后又会聚焦在 \(A'\) 点，这个现象成为磁聚焦现象。实际上更常用的是短线圈非匀强磁场的聚焦作用，因为他们与光学中的透镜相似，故称为磁透镜。

利用磁聚焦，同样可以测量荷质比，我们同样用一个电势差 \(U\) 的加速电场加速，那么：

也就是说：

注意，我们在前面说到，磁聚焦要求初始偏转角很小，我们需要用一个微弱的交变电场来实现偏转，来实现增加一个较小且各个粒子不同的 \(v_{\perp}\) 从而分辨磁聚焦。

回旋加速器¶

我们将两个空心 D 形金属盒正对摆放，金属盒上加上交变电流，从而在盒子缝隙里形成一个交变电场，而由于电屏蔽，盒子内部的电场很弱。我们将盒子放在真空中，将一个带电粒子放在缝隙中央，则其会被电场加速，进入一个 D 形盒，而盒子内部没有电场只有磁场，带电粒子会进行一个半圆周的运动，再次经过缝隙，假设此时交变电场依然可以将粒子加速，粒子加速后进入另一半 D 形盒。同样的，粒子这次只是入射速度加大了，根据磁场的性质，粒子再次经过磁场，时间间隔是不变的，因此只需要加速固定频率的交变电流，就可以将带电粒子不断加速。随着粒子速度点加大，其也愈来愈接近 D 形盒的边缘，当加速到预期速率后，利用致偏电极将粒子引入即可。

当粒子穿出时，设最后一次半圆周运动的半径为 \(R\)，则粒子的最终速度为：

然而，在实际中，根据相对论效应，这样并不能保证粒子经过缝隙时始终得到加速，因此我们可以让磁场不在均匀，称为同步加速器；也可以让交变电流的频率改变，称为同步回旋加速器。

磁约束现象¶

我们知道，在匀强磁场中，粒子是螺旋运动的，而我们如果将磁场变为两头强，中间弱，形成一个中间膨胀稀疏，两边收缩密集的结构，如图所示：

那么，运动粒子所收到的洛伦兹力就会向着内方向倾斜，把粒子从强磁场区赶回弱磁场区，这样的装置称为磁瓶。

在受控热核聚变的研究中，需要将高温的等离子体约束起来，最常用的就是环形磁约束结构，这样的环形磁场可以更好的约束粒子，不容易逃逸。

同时，地磁场也具有两边强中间弱的结构，因此是一个天然的磁镜捕集器，将来自宇宙空间的一部分带电粒子（主要是质子和电子）捕集起来。人们发现，高空中，存在两个由带电粒子组成的辐射带，称为范艾伦辐射带。

直流电动机¶

我们知道，如图所示的矩形载流线圈所受的合力为零，但是因为其不对称， \(AD,BC\) 边上的磁场力作用不在一条直线上，这对力构成一个使线圈转动的力偶，力偶矩的大小为：

我们发现，当磁场和电流一定时，磁场力矩决定于线圈的面积和 \(\theta\)，\(\theta=\pi/2\) 时，即线圈平面域磁感线平行时，\(L\) 最大；\(\theta=0\) 时 \(L=0\)，也成为平衡位置。

如果线圈有 \(N\) 匝，设 \(\bm n\) 为线圈平面的法向量，上式也可以写作：

通电线圈在磁场力矩的作用下将发生转动，但在线圈平衡位置的两侧，他们受到的磁场力矩 \(L\) 方向相反，因此仅仅是这样，线圈会在平衡位置两侧反复摆动。

那么，只要我们在上述装置上面接上换向器，一对相互绝缘的半圆形截片，他们通过固定的电刷与直流电源相接，那么通电线圈便可连续不断的朝一个方向旋转，其中，图 b 称为电机的死点，由于惯性，电机线圈冲过死点继续旋转。如图所示：

单匝线圈的直流电动机力矩太小，不能承担什么负荷，而且转动过程中线圈受的力矩时大时小，转速也很不稳定，实用价值不大。目前常用的实际直流电动机中转动的部分（转子）是嵌在铁芯槽里的多匝线圈组成的鼓形电枢，它们的换向器截片的数目也相应地较多。

直流电动机最突出的优点是通过改变电源电压很容易调节它的转速，而交流电动机的调速就不容易。因此，凡是要调速的设备，一般都采用直流电动机。例如无轨电车和电气机车都是用直流电动机来驱动的。

磁电式表头¶

磁电式电流计，是磁电式电流表和电压表的核心，其是利用磁场对通电线圈的作用原理制成的，常用的电流表和电压表大多是由磁电式电流计改装而成的。磁电式电流计也是利用磁场对通电线圈的作用原理制成的。

在马蹄形永久磁铁的两个磁极的中间固定一圆柱形的软铁芯，一方面用来增强磁极与软铁芯之间空气隙中的磁场，另一方面可使空气隙中的磁感应线沿径向分布。在空气隙间，用漆包细铜导线绕制成的 \(N\) 匝线圈套在一个可以绕轴转动的铝框上，铝框的转轴上装有绕向相反的两个扁平的螺旋弹簧（又称游丝）和一个指针，所以在未给线圈通电流时，线圈随同铝框静止在平衡位置，这时指针应停在零点，指针的零点位置可通过零点调整螺旋来调节。

线圈两端通过铝框的转轴分别接到两个游丝的中心，被测电流就是经过游丝进入线圈的。当电流进入线圈时，它将受到一个磁场力矩的作用，使它偏转。因为无线圈转到什么位置，它的平面始终都跟磁感线垂直：

线圈的转动将使固定在轴上的游丝扭紧，于是游丝便产生一个反方向的恢复力矩 \(L'\) 阻碍线圈的继续偏转，\(L'\) 的大小与线圈转过的角度 \(\alpha\)（即游丝相对于自然状态的角度）成正比（式中 \(K\) 为游丝的扭转常量）：

当线圈转到某一位置时，这两个力矩相等，这是线圈通电时的平衡位置。由于惯性，线圈会越过此位置继续偏转，但此时恢复力矩 \(L'\) 将大于磁场力矩 \(L\)，使线圈很快停止并偏转回来。于是，线圈就在这个平衡位置上来回摆动。由于阻力的作用，它的摆动将很快减小，最后停止在这个平衡位置上，其偏转角可由指针的偏转显示出来。由于 \(L = L'\)，则有：

式中 \(N、B、S、K\) 都是定值，所示 \(I\) 与 \(\alpha\) 成正比，电流计刻度盘上圆弧的长度也与 \(\alpha\) 成正比，所以电流计刻度盘上表示电流大小的刻度是均匀的。

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