抛体运动¶

曲线运动概述¶

曲线运动特点¶

条件：\(v,a\) 不共线。

特点：瞬时速度方向等于轨迹切线方向，证明：

\[ \gdef\d{\mathrm{d}} \dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{\d y}{\d t}\cdot\dfrac{\d t}{\d x}=\dfrac{\d y}{\d x} \]

合速度加在 \(a,v\) 之间，向 \(a\) 靠拢，但不会和 \(a\) 共线。

合运动类型：

	匀速直线运动	匀加速直线运动
匀速直线运动	匀速直线运动	曲线运动
匀加速直线运动	曲线运动	若 \(v_合\) 与 \(a_合\) 共线则为匀加速直线运动否则为曲线运动

小船过河问题¶

如果船速大于水速：

垂直河对岸：时间最短。
斜向上、合速度指向对岸：位移最短。

如果船速小于水速：

垂直河对岸：时间最短。
斜向上、位与圆的切线：位移最短。

关联速度问题¶

连接关联：

刚性绳被动端速率由主动端平行于绳的速度分量决定。
本质是，分速度是合速度的投影，合速度是分速度的反投影。

接触关联：

刚性接触的物体法向分量相等。

交点关联：

两物体始终相交，速度一定相切于交点。
通常换参考系，然后用相似解决。

微元法：

忽略加速度 \(a\)。
将扇形视为三角形。

抛体运动定义¶

抛体运动是一个曲线运动，而且在运动中加速度始终为方向竖直向下的重力加速度 \(g\)。

因此，抛体运动是一个匀变速曲线运动（易证，也是一个平面运动）。

抛体运动分类¶

平面平抛¶

有时，我们关心的是轨道方程，尽管轨道方程所包含的信息没有运动方程所含信息多。

在讨论轨道方程时，通常先写出轨道方程，再消去 \(t\) 得到，正如我们上面的两个推导过程。

显而易见，在 \(v_0,\theta\) 确定的情况下，抛射体运动的轨道方程确定。
设抛射点为坐标原点，抛射初速度大小 \(v_0\) 为已知值，而 \((x,y)\) 为竖直抛射面内被击中的一定点，此时一般能解出两个 \(\theta\) 值；其中 \(\theta_1+\theta_2=\pi/2+\beta\)，其中 \(\beta\) 为在抛射点所看到的点 \((x,y)\) 的视角（\(|\beta|\le\pi/2\)）。
斜抛运动中，速度（切线）的反向延长线过水平位移中点。即速偏角 \(\theta\) 正切等于位偏角 \(\alpha\) 正切两倍。

轨迹方程：

\[ y=-\dfrac{g}{2v_0^2}x^2 \]

水平斜抛¶

根据运动叠加原理，可以把抛体运动看作由两个直线运动叠加而成。

即把一个曲线运动分解成两个直线运动的叠加来讨论。有两种分解方法：

速度为 \(v_0\) 的匀速直线运动和沿竖直方向的自由落体运动。
以抛射点为坐标原点，在抛射平面（竖直平面）内建立直角坐标系，再把方程中各矢量沿 \(x,y\) 方向分解。如果在抛射平面内分别取水平方向和竖直向上方向为 \(x,y\) 轴方向，那么抛体运动方程的分量形式为：

\[ \begin{aligned} &v_x=v_0\cos\theta&&\kern{1em}v_y=v_0\sin\theta-gt\\[0.5em] &x=(v_0\cos\theta)t&&\kern{1em}y=(v_0\sin\theta)t-gt^2/2 \end{aligned} \]

这表示，抛体运动可以看成：

沿 \(x\) 方向的速度为 \(v_0\cos\theta\) 的匀速直线运动和沿 \(y\) 方向的初速为 \(v_0\sin\theta\)、加速度为 \(g\) 的匀变速直线运动。

轨迹方程：

\[ y=-\dfrac{g}{2v_{0x}^2}x^2+\dfrac{v_{0y}}{v_{0x}}x \]

因为 \(v_{0x}=v_0\cos\theta,v_{0y}=v_0\sin\theta\)，因此：

\[ y=-\dfrac{g}{2(v_0\cos\theta)^2}x^2+\tan\theta x \]

可得结论：

\[ H=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} \]

\[ L=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g} \]

对这个式子，我们知道，若在原点以同一角度、不同初速度斜抛，则最高点一定在方程：

\[ y=\dfrac{H}{1/2L}x=\dfrac{1}{2}\tan\theta x \]

上面，同时，我们取一个固定时间 \(t\)，横纵坐标关于初速度的直线方程：

\[ y=\tan\theta x-\dfrac{1}{2}gt^2 \]

斜面斜抛¶

在讨论沿斜面向上（或向下）抛掷物体的抛体运动时，通常令直角坐标的 \(x,y\) 轴分别指向沿斜面向上（或向下）和垂直于斜面向上的方向更为方便。

此时 \(x,y\) 方向的运动均为匀变速直线运动，它们在 \(x,y\) 方向的分运动方程分别为：

\[ \begin{aligned} &v_x=v_0\cos\theta\pm(g\sin\varphi)t&&\kern{1em}v_y=v_0\sin\theta-(g\cos\varphi)t\\[0.5em] &x=(v_0\cos\theta)t\pm(g\sin\varphi)t^2/2&&\kern{1em}y=(v_0\sin\theta)t-(g\cos\varphi)t^2/2 \end{aligned} \]

正号为斜面向下，负号为斜面向上，如图：

斜面平抛¶

从斜面上高点抛出，到最低点因为位偏角相等，因此速偏角相等，打到斜面上的速度夹角相同，三角形相似。

从斜面上方反向抛出，做出等高的线，这条线上存在初速度与水平位移的正比例。

包络线方程¶

抛体运动的包络线方程，也称为安全抛物线，是描述在给定初速度下，所有可能抛物线轨迹的外边界。

\[ y=-\dfrac{g}{2v_0^2}x^2+\dfrac{v_0^2}{2g} \]

其顶点为 \(\dfrac{v_0^2}{2g}\)。

联立包络线方程和 \(y=-h\) 等可以直接得到很多好玩的东西。

斜抛运动矢量法¶

根本：将速度、位移按照效果分解。

通常结合功动能定理。

类平抛运动¶

初速度与合外力垂直，满足平抛运动的一般性质。

例如合成等效重力。

抛体运动例题¶

例题一¶

如图 \((a)\)，求射程、最大高度，

射程，可由 \(y=0\) 时的 \(x\) 求得，表示 \(t\)：

\[ t=\dfrac{v_0\sin\theta\pm v_0\sin\theta}{g}=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g} \]

表示 \(L(x)\)，同时根据正弦函数二倍角公式，化简得：

\[ L=(v_0\cos\theta)t=\dfrac{v_0^2\times2\sin\theta\cos\theta}{g}=\dfrac{v_0^2\sin2\theta}{g} \]

易知，当 \(\theta=\pi/4\,(45^\circ)\) 时 \(L_{\mathit{max}}=v_0^2/g\)。

最大高度，可由 \(v_y=0\) 时的 \(y\) 求得：

\[ t=\dfrac{v_0\sin\theta}{g},\,H=\dfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} \]

易知，当 \(\theta=\pi/2\,(90^\circ)\) 时 \(H_{\mathit{max}}=v_0^2/2g\)。

例题二¶

如图 \((b)\)，同理，小球在斜面上的射程：

\[ S=\dfrac{2v_0^2\cos(\theta+\varphi)\sin\theta}{g\cos^2\varphi} \]

例题三¶

在距离墙面 \(x\) 处以 \(v_0\) 的初速度抛出一小球，小球撞击墙面的最大高度：

\[ H_{\mathit{max}}=\dfrac{v_0^2}{2g}-\dfrac{gx^2}{2v_0^2} \]

例题四¶

在距离水平面 \(h\) 处以 \(v_0\) 的初速度抛出一小球，小球落到水平面的最大射程：

\[ L_{\mathit{max}}=\dfrac{v_0}{g}\sqrt{v_0^2+2gh} \]

抛射角：

\[ \theta=\cot\left(\dfrac{v_0}{\sqrt{v_0^2-2gh}}\right) \]

例题五¶

斜上抛物体到达最高点时速度为 \(v=24\mathrm{m/s}\)，落地时速度为 \(v_t=30\mathrm{m/s}\)，求：

物体抛出时的速度的大小和方向；物体在空中的飞行时间；射高和水平射程。

列出方程：

\[ \begin{aligned} &v_x=v_0\cos\theta&&\kern{1em}v_y=v_0\sin\theta-gt\\ &x=(v_0\cos\theta)t&&\kern{1em}y=(v_0\sin\theta)t-gt^2/2 \end{aligned} \]

由题意，\(v_x=24\mathrm{m/s}\)；当 \(y=0\) 时，\(v_x^2+v_y^2=(30\mathrm{m/s})^2\)，解得 \(v_y=18\mathrm{m/s}\)。

根据对称性，抛出时速度 \(v_0=30\mathrm{m/s}\)，夹角 \(\theta=\cot(v_y/v_x)=\cot(3/4)=37^\circ\)。

落地飞行时间，即 \(y=0\) 时的 \(t\)，则 \(t_1=0\mathrm{s},\,t_2=3.6\mathrm{s}\)，其中 \(0\) 为抛出时（舍）。

射高，即 \(v_y=0\) 时的 \(y\)，即 \(y|_{t=1.8\mathrm{s}}=16.2\mathrm{m}\)；射程，即 \(x|_{t=3.6\mathrm{s}}=86.4\mathrm{m}\)。

即：初速度 \(30\mathrm{m/s}\,(37^\circ)\)，飞行时间 \(3.6\mathrm{s}\)，射高为 \(16.2\mathrm{m}\)，射程为 \(86.4\mathrm{m}\)。

例题六¶

传送门：https://www.luogu.com.cn/problem/P4710。

形式化题面：

一个可以视为质点的小球在 \((x_0,y_0)\) 沿 \(x\) 轴负方向以一初速度抛出，忽略阻力。

给定该小球落到原点 \((0,0)\) 时的瞬时速度 \(v\) 及该速度与法线的夹角 \(\theta\)，求 \((x_0,y_0)\)。

给定速度单位为 \(\mathrm{m/s}\)，角度单位为 \(\mathrm{rad}\)，重力加速度取 \(g=10\mathrm{m/s^2}\)。

考虑将末速度正交分解：

\[ \left\{\begin{aligned} v_x&=v\sin\theta\\ v_y&=v\cos\theta \end{aligned}\right. \]

考虑计算运动时间。

\[ v_t=v_0+at \]

故：

\[ t=\dfrac{v_t-v_0}{a}=\dfrac{v_y}{2g}=\dfrac{v\cos\theta}{10\mathrm{m/s^2}} \]

考虑水平运动距离：

\[ x_x=v_xt=\dfrac{v^2\sin\theta\cos\theta}{10\mathrm{m/s^2}} \]

考虑垂直运动距离：

\[ 2ax=v_t^2-v_0^2 \]

故：

\[ x_y=\dfrac{v_t^2-v_0^2}{2a}=\dfrac{v_y^2}{2g}=\dfrac{v^2\cos^2\theta}{20\mathrm{m/s^2}} \]

故起点坐标：

\[ (x_0,y_0)=\left(\dfrac{v^2\sin\theta\cos\theta}{10\mathrm{m/s^2}},\dfrac{v^2\cos^2\theta}{20\mathrm{m/s^2}}\right) \]

代码：

main() {
    double v, theta;
    scanf("%lf%lf", &v, &theta);
    double x = v * v * sin(theta) * cos(theta) / 10.0;
    double y = v * v * cos(theta) * cos(theta) / 20.0;
    printf("%.6lf %.6lf\n", x, y);
}

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