圆周运动¶

圆周运动相关定义¶

物理量¶

线速度：单位时间通过的弧长，\(v(\mathrm{m/s})\)；
角速度：单位时间通过的角度，\(\omega(\mathrm{rad/s})\)；
周期：完成一次的时间，\(T(\mathrm{s})\)；
频率：单位时间完成的次数：\(f(\mathrm{s^{-1},Hz})\)；
转速：单位时间完成的圈数：\(n(\mathrm{r/s})\)。

匀速圆周运动¶

\[ T=\dfrac{2\pi r}{v}=\dfrac{2\pi}{\omega} \]

推导出来：

\[ v=\omega r \]

即速度（\(v\)）在（\(=\)）绕（\(r\)）弯（\(\omega\)）。

\[ f=n=\dfrac{1}{T} \]

向心力和向心加速度¶

向心力：

\[ F_c=\dfrac{mv^2}{r}=m\omega^2r=mv\omega \]

向心加速度：

\[ a_c=\dfrac{v^2}{r}=\omega^2r=v\omega \]

圆周运动解题思路¶

列表法¶

对于匀速圆周运动多个圈的题目，列表：

\[ \begin{array}{|c|l|l|l}\hline &P_c&Q_c&\dots\\\hline \bm r\\\hline \bm \omega\\\hline \bm v\\\hline \bm a\\\hline \end{array} \]

上面对应的就是几个圆周，从上到下填表。

填表的时候常用公式 \(a=v\omega\)。

如果是求比例，那么设 \(\omega\) 相同的点为单位 \(1\)。

关联速度¶

现象：传送带上，各处线速度相同；同一物体，各处角速度相同。

现象：沿绳沿杆速度大小相同，力相同，垂直于接触面方向速度相同。

解决方法：

判断合运动方向；
分解合运动到沿绳沿杆方向；
根据速度分量列等式。

牛二思路¶

切线方向，列平衡式子，注意这个式子一定要列，下面可能会用到；

向心方向，列 \(F_合=F_向\)（匀速），其中合外力通过受力分析找，\(r\) 要找。

常有模型：圆锥摆。

圆锥摆模型¶

基础圆锥摆模型¶

指向圆心和竖直方向建系，列出两个方向上的牛二方程：

\[ \begin{aligned} F_合=T\sin\theta\\ T\cos\theta=mg \end{aligned} \]

其中 \(\theta\) 为绳子和竖直方向的夹角。

列出合外力等于向心力：

\[ F_合=m\omega^2r \]

计算得到：

\[ \omega=\sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}} \]

同角不同面模型¶

物体和法线的夹角相同，但是不同水平面，如右图所示。

假设接触面光滑：

\[ \begin{aligned} F_合=F_N\cos\theta\\ F_N\sin\theta=mg \end{aligned} \]

结论是向心加速度相同：

\[ a=\dfrac{F_合}{m}=g\cot\theta \]

同角不同面，最常见的是漏斗里面小球转圈圈。

根据 \(F_向=ma\)，因此质量越大，向心力越大。
根据 \(\displaystyle F_N=\dfrac{mg}{\sin\theta}\)，因此质量越大，对斜面压力越大。
根据 \(a=\omega^2r\)，因此半径越大，角速度越小。
根据 \(\displaystyle a=\dfrac{v^2}{r}\)，因此半径越大，线速度越大。

同面不同角模型¶

物体在同一平面，与法线的夹角不同，如右图。

根据圆锥摆的公式，角速度 \(\omega\) 对各物体相同：

\[ \omega=\sqrt{\dfrac{g}{L\cos\theta}}=\sqrt{\dfrac{g}{H}} \]

根据 \(a=\omega^2r\)，因此半径越大，加速度越大。
根据 \(v=r\omega\)，因此半径越大，线速度越大。

反向推论：角速度相同，则物体也会在同一平面上。

圆锥摆求夹角¶

在一根长度为 \(l\) 的绳子下端悬挂一个质量为 \(M\) 的小球，以匀角速度 \(\omega\) 旋转。

求：绳子与铅锤方向所成的角 \(\theta\)。

易得：

\[ \begin{aligned} T\cos\theta&=Mg\\ T\sin\theta&=M\omega^2r=M\omega^2l\sin\theta \end{aligned} \]

注意到一个可行解是 \(\sin\theta=0\)，即 \(\theta=0\)（因为 \(\theta=\pi\) 是不稳定状态）。

否则，

\[ T=M\omega^2l \]

即，

\[ Mg=T\cos\theta=M\omega^2l\cos\theta \]

\[ \cos\theta=\dfrac{g}{\omega^2l},\;\theta=\arccos\left(\dfrac{g}{\omega^2l}\right) \]

结论：

\[ \theta=\left\{\begin{aligned} &0&,\omega\le\sqrt{\dfrac{g}{l}}\\ &\arccos\left(\dfrac{g}{\omega^2l}\right)&,\omega>\sqrt{\dfrac{g}{l}}\\ \end{aligned}\right. \]

圆锥摆临界问题¶

先求出临界状态下的角速度。

根据临界角速度和实际角速度，做出受力分析。

圆盘模型¶

单物体圆盘模型¶

一个水平转动的圆盘上有一个物体。

此时，摩擦力提供向心力，物体与圆盘之间的摩擦因数为 \(\mu\)。

当最大静摩擦力（大小视为滑动摩擦力）等于向心力时恰好不滑动。

\[ \mu mg=m\omega^2r \]

得出：

\[ \omega=\sqrt{\dfrac{\mu g}{r}} \]

多物体圆盘模型¶

一个水平转动的圆盘上两个物体，考虑谁会先开始滑动。

物体 \(m_1,m_2,\mu_1,\mu_2\)，可以计算出每个物体的临界角速度。

\[ \begin{aligned} \mu_1m_1g&=m_1\omega_1^2r_1\\ \mu_2m_2g&=m_2\omega_2^2r_2\\ \end{aligned} \]

得出：

\[ \begin{aligned} \omega_1&=\sqrt{\mu_1g\over r_1}\\ \omega_2&=\sqrt{\mu_2g\over r_2} \end{aligned} \]

即 \(\displaystyle{\mu\over r}\) 小的先发生滑动，大的后发生滑动。

如果摩擦系数相同，则离圆心越远，越先开始滑动。

同侧连接体圆盘模型¶

两物体质量分别为 \(m_1,m_2\)，用轻绳连接。

两物体与圆盘摩擦系数为 \(\mu_1,\mu_2\)，且距圆心分别为 \(r_1,r_2(r_1<r_2)\) 同侧。

问题一：转速多大绳子出现拉力。

根据单物体圆盘模型，两物体独立的临界角速度分别为：

\[ \omega_1=\sqrt{\mu_1g\over r_1} \]

\[ \omega_2=\sqrt{\dfrac{\mu_2g}{r_2}} \]

如果 \(\omega_1<\omega_2\)，则绳子会松弛，我们不考虑这个情况。

因此，当转速大于等于 \(\omega_2\) 的时候，绳子会出现拉力。

问题二：转速多大物体一起运动。

对物体整体法分析：

\[ \mu_1m_1g+\mu_2m_2g=m_1\omega^2r_1+m_2\omega^2r_2 \]

得出：

\[ \omega=\sqrt{\dfrac{(\mu_1m_1+\mu_2m_2)g}{m_1r_1+m_2r_2}} \]

假设物体质量相等，即 \(m_1=m_2\)，则有：

\[ \omega=\sqrt{(\mu_1+\mu_2)g\over r_1+r_2} \]

假设物体摩擦因数相等，即 \(\mu_1=\mu_2\)，则有：

\[ \omega=\sqrt{\dfrac{\mu g(m_1+m_2)}{m_1r_1+m_2r_2}} \]

假设 \(m_1=m_2\) 且 \(\mu_1=\mu_2\)，则有：

\[ \omega=\sqrt{\dfrac{2\mu g}{r_1+r_2}} \]

注意到不可能有 \(r_1=r_2\)，因为是两个物体。

异侧连接体圆盘模型¶

可以进行质心的分析，简单来说两物体需要提供的向心力增量：

\[ \begin{aligned} \Delta F_1&=m_1\Delta(\omega^2)r_1\\ \Delta F_2&=m_2\Delta(\omega^2)r_2 \end{aligned} \]

随着 \(\omega\) 的增大，一定有一个先产生相对滑动趋势，假设是 \(1\) 物体。

\[ \omega_1=\sqrt{\dfrac{\mu_1g}{r_1}} \]

表示达到这个角速度时 \(1\) 物体恰好没有产生相对滑动趋势。

此时，我们知道角速度增大一个小的增量 \(\Delta\omega\)，绳子就会提供 \(\Delta F_1\) 的拉力。

此时注意到，如果 \(\Delta F_1>\Delta F_2\)，也就是 \(m_1r_1>m_2r_2\)，此时绳子拉力的增大快于了 \(2\) 物体向心力的需求增量。那么，\(2\) 物体的摩擦力就会减小，然后反向，最终向 \(1\) 物体一侧滑开。我们设 \(\omega_2\) 表示恰好 \(2\) 物体没有摩擦力，\(\omega_3\) 表示恰好不滑动。

\[ \begin{aligned} \omega_1&=\sqrt{\mu g\over r_1}\\ \omega_2&=\sqrt{\mu g\over r_1-r_2}\\ \omega_3&=\sqrt{2\mu g\over r_1-r_2} \end{aligned} \]
此时注意到，如果 \(\Delta F_1=\Delta F_2\)，也就是 \(m_1r_1=m_2r_2\)，绳子拉力的增量等于了 \(2\) 物体向心力的需求增量。那么，此时绳子拉力不断增大，\(1\) 物体保持最大静摩擦状态，\(2\) 物体保持原先的摩擦力大小，然而绳子拉力大小不断增大，有拉力 \(T\) 和角速度的关系：

\[ T=m_2(\omega^2-\omega_1)^2r_2 \]
此时注意到，如果 \(\Delta F_1<\Delta F_2\)，也就是 \(m_1r_1<m_2r_2\)，此时绳子拉力的增量不足 \(2\) 物体向心力的需求增量，因此 \(2\) 物体摩擦力继续增大，因为绳子拉力保持了 \(1\) 的静止，因此最终发生 \(2\) 的最大静摩擦及滑动，向 \(2\) 物体一侧滑开。

注意到这个可以通过质点的形式解决，我们将会在质点系中再次讨论。

非匀速绳杆模型¶

基础形态¶

区别：绳子无法提供对物体向上的力。

列式：

\[ \begin{aligned} G+T&=F_c\\ mg+T&=m\frac{v^2}{r} \end{aligned} \]

绳模型¶

考虑最高点最小速度、恰好经过顶点、绳子无拉力：

物理量的表示，即：\(v\) 最小，\(F_c\) 最小，\(T\) 为 \(0\)。

故：

\[ \begin{aligned} mg&=m\frac{v^2}{r}\\ v&=\sqrt{gr} \end{aligned} \]

性质：

在圆上一定满足提供了向心力 \(F_r=\dfrac{mv^2}{r}\)。
脱离的临界态：在圆上、无拉力弹力、向心方向恰好提供了 \(F_r\)。
脱离的瞬间重力与所在半径连线夹角 \(\cos\theta=\dfrac{v^2}{gr}\)。

杆模型¶

杆子可以提供最大为 \(-mg\) 的力（表示为顶着物体）。

即，有最高点最小速度 \(v=0\)，杆子不受力 \(v=\sqrt{gr}\)。

最高点时，杆子的力可以向上、向下，因此记临界速度 \(v_0=\sqrt{gr}\)：

若 \(v>v_0\) 则杆子对物体的力向下，若 \(v<v_0\) 杆子对物体的力向上。

然后写牛二式子 \(mg\pm T=m\dfrac{v^2}{r}\)。

拉力的作用力范围为 \((-\infty,mg]\)，以支持力为正。

圆环模型¶

小球在圆环里面转圈，双环相当于杆，单环相当于绳。

注意到双环中，只可能两侧中的一侧受力，写牛二即可求 \(T\)。

动能定理¶

重力做功等于动能变化量，最高点速度可以求出来。

那么就可以求出来最低点的速度以及绳子的拉力。

绳子碰钉模型¶

最简形式¶

一个绳子拴着小球，摆下来遇到钉子然后绕着更小的半径运动。

瞬间小球速度不变，忽略能量损耗，小球线速度 \(v\) 始终不变。

根据 \(\displaystyle F=\dfrac{mv^2}{r}\)，绳子拉力增大；
根据 \(\displaystyle\omega=\dfrac{v}{r}\)，角速度增大；
根据 \(a=v\omega\)，加速度增大。
根据 \(\displaystyle T=\dfrac{2\pi}{\omega}\)，周期减小。

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