解析几何¶

插值是一种通过已知的、离散的数据点推算一定范围内的新数据点的方法，分为线性插值和多项式插值。多项式插值的一般形式如下：对已知的 \(n+1\) 的点 \((x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_n,y_n)\)，求 \(n\) 阶多项式 \(f(x)\) 满足：

\[ f(x_i)=y_i,\forall i=0,1,\dots,n \]

形式化来说，就是给定 \(n\) 个纵坐标不同的点，求一个不超过 \(n\) 次的多项式 \(f(x)\)，使其过这 \(n\) 个点。

最简单的插值法就是拉格朗日插值法：尝试构造多项式 \(f_i(x)\) 使得 \(f_i(x)=[i=x_i]\)，易得：

\[ f_i(x)=\prod_{j\neq i}{x-x_j\over x_i-x_j} \]

可得拉格朗日插值的形式为：

\[ f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\cdot f_i(x) \]

化简为：

\[ f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j\neq i}{x-x_j\over x_i-x_j} \]

对称性问题主要涉及以下三个方面的内容：点关于点中心对称、点关于直线对称、直线关于直线对称。

点关于点中心对称：若点 \(M(x_0, y_0)\) 及点 \(N(x, y)\) 关于点 \(P(a, b)\) 对称，则由中点坐标公式得

\[ \begin{cases} x = 2a - x_0 \\ y = 2b - y_0 \end{cases} \]
点关于直线成轴对称：设点 \(P(x_0, y_0)\) 关于直线 \(y = kx + b\) 的对称点为 \(P'(x', y')\)，则

\[ \begin{cases} \frac{y' - y_0}{x' - x_0} \cdot k = -1 \\ \frac{y' + y_0}{2} = k \cdot \frac{x' + x_0}{2} + b \end{cases} \]
直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。
曲线的对称：曲线关于点中心对称、曲线关于直线轴对称一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化），一般结论如下：

曲线 \(f(x, y) = 0\) 关于点 \(A(a, b)\) 对称的曲线方程是 \(f(2a - x, 2b - y) = 0\)。

曲线 \(f(x, y) = 0\) 关于直线 \(y = kx + b\) 对称的曲线方程的求法：设对称曲线上任意一点为 \(P(x, y)\)，其对称点在曲线 \(f(x, y) = 0\) 上的坐标为 \(P'(x_0, y_0)\)，可用 \(P(x, y)\) 表示 \(P'(x_0, y_0)\)，将 \(P'(x_0, y_0)\) 代入已知曲线方程 \(f(x, y) = 0\)，应有 \(f(x_0, y_0) = 0\)，即可求出曲线 \(f(x, y) = 0\) 关于直线 \(y = kx + b\) 对称的曲线方程。这种方法称为相关点代入法。

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