统计模型¶

统计学概述¶

统计学是在资料分析的基础上，研究测定、收集、整理、归纳和分析反映数据资料，以便给出正确消息的科学。

统计学抽样¶

简单随机抽样：从总体中随机地抽取样本，使得每一个容量为样本都有相同的概率被抽中。每个样本单位被抽中的概率相等，样本的每个单位完全独立，彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。在统计学的不同技术中需要使用随机数，比如在从统计总体中抽取有代表性的样本的时候，或者在将实验动物分配到不同的试验组的过程中，或者在进行蒙特卡罗模拟法计算的时候等等。

等距抽样（也称系统抽样）：将总体中的所有单位按一定顺序排列，在规定的范围内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按事先规定好的规则确定其他样本单位。

分层抽样：分层抽样是从统计总体抽取样本方法，将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本。从而保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度。当总体内的子总体之间的差异较大，对每个子总体分别进行分层抽样调查，会令统计调查结果更为准确。子总体的分层必须为互斥，即每个总体的成员均只能属于一个分层。之后，可对每个子总体进行简单随机抽样或系统抽样。这样可令调查的代表性改善。

整群抽样（又称群集抽样）：将总体中若干个单位合并为组，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查。抽样时只需群的抽样框，可简化工作量，缺点是估计的精度较差。

等距抽样概述¶

假设从容量为 \(N\)（很大）的总体中抽取容量为 \(n\) 的样本，我们可以按下列步骤进行系统抽样：

先将总体的 \(N\) 个个体编号。
确定分段间隔 \(k\)，对编号进行分段。
- 当 \(\dfrac{N}{n}\) 是整数时，取 \(k=\dfrac{N}{n}\)。
- 当 \(\dfrac{N}{n}\) 不是整数时，假设余数为 \(r\)（\(0<r<n\)），可随机地从 \(N\) 个个体中剔除余数 \(r\) 个个体，此时取 \(k=\dfrac{N-r}{n}\)。
在第一段用简单随机抽样确定第 \(1\) 个个体的编号 \(\ell\)（\(\ell\le k\)）。
将编号为 \(\ell, \ell+k, \ell+2k, \dots, \ell+(n-1)k\) 的个体抽出。

我们知道 \(\ell, \ell + k, \ell + 2k, \dots, \ell + (n - 1)k\) 是以 \(\ell\) 为首项、以 \(k\) 为公差的等差数列，设第 \(n\) 段抽到的编号为 \(a_n\)，则 \(a_n = \ell + (n - 1)k\)。故系统抽样也叫等距抽样。

分层抽样概述¶

当总体是由差异明显的几部分（层）构成时，如果我们用简单随机抽样或系统抽样，有可能抽取的数据全部来自同一部分（层）。为了避免这种情况发生，我们可以按各层所占的比例一层一层抽，即为分层抽样。

分层抽样的步骤：

分层：将总体分成互不交叉的层。
确定抽样比：总体 \(N\)，样本容量 \(n\)，则抽样比例为 \(\dfrac{n}{N}\)。
分层抽样：在各层中按抽样比例 \(\dfrac{n}{N}\) 独立地进行简单随机抽样。
汇合样本：将各层抽取的样本合并为最终样本。

例如：第一层 \(X\) 有 \(n\) 个元素，第二层 \(Y\) 有 \(m\) 个元素。

容易得出：

\[ \bar a=\dfrac{n\bar X+m\bar Y}{n+m} \]

对于方差会麻烦一点：

\[ \begin{aligned} D(a)&=E(a^2)-(Ea)^2\\ &=\dfrac{nE(X^2)+mE(Y^2)}{n+m}-\left(\dfrac{nEX+mEY}{n+m}\right)^2\\ &=\dfrac{nD(x)+mD(Y)}{n+m}+\dfrac{nm(EX-EY)^2}{(n+m)^2} \end{aligned} \]

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