数列进阶¶
回顾及补充¶
经典常量¶
\[ \pi\approx3.14159 \]
\[ e\approx2.71828 \]
\[ \gamma\approx0.57721 \]
\[ \varphi={1+\sqrt5\over2}\approx1.61803 \]
\[ \hat\varphi={1-\sqrt5\over2}\approx-.61803 \]
基础公式¶
一些公式，
\[ \sum_{i=1}^ni={n(n+1)\over2} \]
\[ \sum_{i=1}^ni^2={n(n+1)(2n+1)\over6}={n(n+1/2)(n+1)\over3} \]
\[ \sum_{i=1}^ni^3=\left[{n(n+1)\over2}\right]^2={n^2(n+1)^2\over4} \]
可以通过扰动法（见下）或者待定系数并归纳得出。
\[ \sum_{i=0}^nc^i={c^{n+1}-1\over c-1},c\neq1 \]
\[ \sum_{i\ge0}c^i={1\over 1-c},|c|<1 \]
\[ \sum_{i\ge1}c^i={c\over 1-c},|c|<1 \]
上面的是等比数列，下面的用极限得出。
\[ \sum_{i=0}^nic^i={nc^{n+2}-(n-1)c^{n+1}+c\over(c-1)^2},c\neq1 \]
\[ \sum_{i\ge0}ic^i={c\over(1-c)^2},|c|<1 \]
上面的可以扰动法得出，下面的极限得出。
调和级数¶
\[ H_n=\sum_{i=1}^n{1\over i} \]
有，
\[ \ln n<H_n<\ln n+1 \]
\[ H_n=\ln n+\gamma+\mathcal O\left({1\over n}\right) \]
同时，
\[ \sum_{i=1}^nH_i=(n+1)H_n-n \]
\[ \sum_{i=1}^niH_i={n(n+1)\over2}H_n-{n(n-1)\over4} \]
\[ \sum_{i=1}^n{i\choose m}H_i={n+1\choose m+1}\left(H_{n+1}-{1\over m+1}\right) \]
证明下面再说。
欧拉公式¶
\[ \def\ff#1{{1\over#1^2}} {\pi^2\over6}=\ff1+\ff2+\ff3+\ff4+\ff5+\dots \]
\[ \def\ff#1{{1\over#1^2}} {\pi^2\over8}=\ff1+\ff3+\ff5+\ff7+\ff9+\dots \]
组合数学¶
见我的排列组合笔记。
\[ \def\qq{\quad} \begin{array}{c} 1\\ 1\qq1\\ 1\qq2\qq1\\ 1\qq3\qq3\qq1\\ 1\qq4\qq6\qq4\qq1\\ 1\qq5\qq10\qq10\qq5\qq1\\ 1\qq6\qq15\qq20\qq15\qq6\qq1\\ 1\qq7\qq21\qq35\qq35\qq21\qq7\qq1\\ 1\qq8\qq28\qq56\qq70\qq56\qq28\qq8\qq1\\ 1\qq9\qq36\qq84\qq126\qq126\qq84\qq36\qq9\qq1\\ 1\qq10\qq45\qq120\qq210\qq252\qq210\qq120\qq45\qq10\qq1\\ \end{array} \]
线代基础¶
\[ \left\lvert\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right\rvert=ad+bc \]
\[ \det A=\sum_{\pi\in S_n}\operatorname{sgn}(\pi)\prod_{i=1}^na_{i,\pi(i)} \]
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